Analiza wymiarowa: techniki, zasada jednorodności i ćwiczenia

Analiza wymiarowa jest narzędziem szeroko stosowanym w różnych gałęziach nauki i inżynierii, aby lepiej zrozumieć zjawiska związane z obecnością różnych wielkości fizycznych. Wielkości mają wymiary iz nich pochodzą różne jednostki miary.

Pochodzenie koncepcji wymiaru znajduje się we francuskim matematyku Josephie Fourierze, który ją wymyślił. Fourier zrozumiał również, że aby dwa równania były porównywalne, muszą być jednorodne pod względem wymiarów. Oznacza to, że nie można dodawać metrów z kilogramami.

Zatem analiza wymiarowa jest odpowiedzialna za badanie wielkości, wymiarów i jednorodności równań fizycznych. Z tego powodu często używa się go do sprawdzania relacji i obliczeń lub do konstruowania hipotez dotyczących skomplikowanych pytań, które można następnie testować eksperymentalnie.

W ten sposób analiza wymiarowa jest doskonałym narzędziem do wykrywania błędów w obliczeniach podczas sprawdzania zgodności lub niezgodności używanych w nich jednostek, kładąc szczególny nacisk na jednostki wyników końcowych.

Ponadto analiza wymiarowa służy do projekcji systematycznych eksperymentów. Pozwala zmniejszyć liczbę niezbędnych eksperymentów, a także ułatwić interpretację uzyskanych wyników.

Jedną z fundamentalnych podstaw analizy wymiarowej jest to, że możliwe jest przedstawienie dowolnej wielkości fizycznej jako iloczynu mocy mniejszej ilości, znanych jako podstawowe wielkości, z których pochodzą inne.

Podstawowe wielkości i formuła wymiarowa

W fizyce podstawowe wielkości są uważane za te, które pozwalają innym wyrażać się w kategoriach tych. Zgodnie z konwencją wybrano: długość (L), czas (T), masę (M), natężenie prądu elektrycznego (I), temperaturę (θ), natężenie światła (J) i ilość substancji (N).

Przeciwnie, reszta jest uważana za wielkości pochodne. Niektóre z nich to między innymi: obszar, objętość, gęstość, prędkość, przyspieszenie.

Jest definiowana jako formuła wymiarowa równości matematycznej, która przedstawia relację zachodzącą między ilością pochodną a podstawową.

Techniki analizy wymiarowej

Istnieje kilka technik lub metod analizy wymiarowej. Dwa z najważniejszych są następujące:

Metoda Rayleigha

Rayleigh, który był obok Fouriera, jednego z prekursorów analizy wymiarowej, opracował bezpośrednią i bardzo prostą metodę, która pozwala nam uzyskać elementy bezwymiarowe. W tej metodzie przestrzegane są następujące kroki:

1- Zdefiniowano potencjalną funkcję znakową zmiennej zależnej.

2- Każda zmienna jest zmieniana przez odpowiadające jej wymiary.

3- Ustalono równania warunku jednorodności.

4- Nieznane np. Są naprawione.

5- Zastąp wykładniki, które zostały obliczone i ustalone w równaniu potencjalnym.

6- Przesuń grupy zmiennych, aby zdefiniować bezwymiarowe liczby.

Metoda Buckingham

Metoda ta opiera się na twierdzeniu Buckinghama lub twierdzeniu pi, które stwierdza, co następuje:

Jeśli istnieje relacja na jednorodnym poziomie wymiaru między liczbą „n” wielkości fizycznych lub zmiennych, gdzie pojawiają się „p” różne wymiary podstawowe, istnieje również zależność homogeniczności między n-p, niezależnymi grupami bezwymiarowymi.

Zasada jednorodności wymiarowej

Zasada Fouriera, znana również jako zasada jednorodności wymiarowej, wpływa na prawidłową strukturę wyrażeń, które łączą algebraicznie wielkości fizyczne.

Jest to zasada, która ma spójność matematyczną i stwierdza, że ​​jedyną opcją jest odjęcie lub dodanie wielkości fizycznych o tym samym charakterze. Dlatego nie jest możliwe dodanie masy o długości ani czasie z powierzchnią itp.

Podobnie zasada stwierdza, że ​​aby równania fizyczne były poprawne na poziomie wymiarowym, całkowite warunki członków dwóch stron równości muszą mieć ten sam wymiar. Zasada ta pozwala zagwarantować spójność równań fizycznych.

Zasada podobieństwa

Zasada podobieństwa jest rozszerzeniem charakteru jednorodności na poziomie wymiarowym równań fizycznych. Mówi się, co następuje:

Prawa fizyczne pozostają niezmienione w porównaniu ze zmianą wymiarów (wielkości) faktów fizycznych w tym samym systemie jednostek, niezależnie od tego, czy są to zmiany o charakterze rzeczywistym czy wyobrażonym.

Najwyraźniejsze zastosowanie zasady podobieństwa jest podane w analizie właściwości fizycznych modelu wykonanego w mniejszej skali, aby później wykorzystać wyniki w obiekcie w rzeczywistym rozmiarze.

Ta praktyka ma zasadnicze znaczenie w takich dziedzinach, jak projektowanie i produkcja samolotów i statków oraz w dużych pracach hydraulicznych.

Aplikacje

Wśród wielu zastosowań analizy wymiarowej możemy wyróżnić te wymienione poniżej.

- Znajdź możliwe błędy w przeprowadzonych operacjach

- Rozwiązuj problemy, których rozdzielczość przedstawia pewną trudną do pokonania matematyczną trudność.

- Projektuj i analizuj modele w zmniejszonej skali.

- Dokonuj obserwacji, w jaki sposób możliwe modyfikacje wpływają na model.

Ponadto analiza wymiarów jest często stosowana w badaniach mechaniki płynów.

Znaczenie analizy wymiarowej w mechanice płynów wynika z trudności w ustaleniu równań w pewnych przepływach, a także z trudności w ich rozwiązaniu, więc niemożliwe jest uzyskanie zależności empirycznych. Z tego powodu konieczne jest zastosowanie metody eksperymentalnej.

Rozwiązane ćwiczenia

Pierwsze ćwiczenie

Znajdź wymiarowe równanie prędkości i przyspieszenia.

Rozwiązanie

Ponieważ v = s / t, prawdą jest, że: [v] = L / T = L ∙ T-1

Podobnie:

a = v / t

[a] = L / T2 = L ∙ T-2

Drugie ćwiczenie

Określ wymiarowe równanie wielkości ruchu.

Rozwiązanie

Ponieważ pęd jest iloczynem masy i prędkości, prawdą jest, że p = m ∙ v

Dlatego:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T-2