Prędkość areolarna: co to jest, jak jest obliczane i rozwiązywane ćwiczenia
Prędkość areolarna jest obszarem przemiatanym na jednostkę czasu i jest stała. Jest unikalny dla każdej planety i wynika z opisu drugiego prawa Keplera w formie matematycznej. W tym artykule wyjaśnimy, co to jest i jak jest obliczane.
Boom, który reprezentuje odkrycie planet poza Układem Słonecznym, reaktywował zainteresowanie ruchem planet. Nic nie pozwala nam uwierzyć, że te egzo-planety przestrzegają praw innych niż te, które są już znane i obowiązujące w Układzie Słonecznym: prawa Keplera.
Johannes Kepler był astronomem, który bez pomocy teleskopu i wykorzystując obserwacje swojego mentora Tycho Brahe, stworzył model matematyczny opisujący ruch planet wokół Słońca.
Zostawił ten model ucieleśniony w trzech prawach, które noszą jego imię i które pozostają aktualne do dziś, jak w 1609 r., Kiedy ustanowił pierwsze dwa, aw 1618 r. Datę, w której ogłosił trzecią.
Prawa Keplera
W obecnym języku trzy prawa Keplera mówią:
1. Orbity wszystkich planet są eliptyczne, a Słońce jest w centrum uwagi.
2. Wektor położenia, który przechodzi ze Słońca na planetę, omiata równe obszary w równych czasach.
3. Kwadrat okresu orbitalnego planety jest proporcjonalny do sześcianu większej połowy wieku opisywanej elipsy.
Planeta będzie miała prędkość liniową, tak jak każdy znany obiekt, który się porusza. Jest jeszcze więcej: podczas pisania drugiego prawa Keplera w formie matematycznej pojawia się nowa koncepcja zwana prędkością areolarną, specyficzna dla każdej planety.
Dlaczego planety poruszają się eliptycznie wokół Słońca?
Ziemia i inne planety poruszają się wokół Słońca dzięki temu, że wywierają na nie siłę: przyciąganie grawitacyjne. To samo dzieje się z każdą inną gwiazdą i planetami, które tworzą system, jeśli je masz.
Jest to siła typu znana jako siła centralna. Waga jest główną siłą, z którą wszyscy są zaznajomieni. Obiekt, który wywiera siłę centralną, czy to Słońce, czy odległa gwiazda, przyciąga planety w kierunku ich środka, a te poruszają się po zamkniętej krzywej.
W zasadzie ta krzywa może być przybliżona jako obwód, podobnie jak Mikołaj Kopernik, polski astronom, który stworzył teorię heliocentryczną.
Odpowiedzialną siłą jest przyciąganie grawitacyjne. Siła ta zależy bezpośrednio od mas gwiazdy i danej planety i jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, która je dzieli.
Problem nie jest taki prosty, ponieważ w układzie słonecznym wszystkie elementy oddziałują w ten sposób, co zwiększa złożoność problemu. Ponadto nie są cząstkami, ponieważ gwiazdy i planety mają mierzalne rozmiary.
Z tego powodu centralny punkt orbity lub obwodu poruszanego przez planety nie jest dokładnie wyśrodkowany na gwieździe, ale w punkcie znanym jako środek ciężkości systemu planety słonecznej.
Powstała orbita jest eliptyczna. Poniższy obraz pokazuje to, biorąc za przykład Ziemię i Słońce:
Aphelium jest najdalszą pozycją od Ziemi do Słońca, podczas gdy peryhelium jest najbliższym punktem. Elipsa może być bardziej lub mniej spłaszczona, zgodnie z charakterystyką gwiazdy - układu planet.
Wartości aphelium i peryhelium zmieniają się co roku, ponieważ inne planety powodują zakłócenia. Dla innych planet pozycje te nazywane są odpowiednio apoastro i periastro.
Wielkość prędkości liniowej planety nie jest stała
Kepler odkrył, że kiedy planeta krąży wokół Słońca, podczas jej ruchu wymiata równe obszary w równych czasach. Rysunek 2 pokazuje graficznie znaczenie tego:
Matematycznie fakt, że A 1 jest równy A 2, wyraża się następująco:
Przecięte łuki Δs są małe, tak że każdy obszar może być zbliżony do trójkąta:
Jako Δs = v Δt, gdzie v jest prędkością liniową planety w danym punkcie, podczas zastępowania mamy:
A ponieważ przedział czasu Δt jest taki sam, otrzymujemy:
Jako r 2 > r 1, a następnie v 1 > v 2, innymi słowy, prędkość liniowa planety nie jest stała. W rzeczywistości Ziemia idzie szybciej, gdy znajduje się w peryhelium, niż gdy jest w aphelium.
Dlatego prędkość liniowa Ziemi lub dowolnej planety wokół Słońca nie jest wielkością, która służy do charakteryzowania ruchu tej planety.
Prędkość areolarna
Drugie prawo Keplera sugeruje nową wielkość zwaną prędkością polarną. Jest zdefiniowany jako obszar zmieciony na jednostkę czasu i jest stały. Aby to obliczyć, stosuje się następujący rysunek:
Mały obszar omiatany przez Ziemię jest wybierany podczas wykonywania jego eliptycznego obwodu, który oznaczymy jako ΔA. Wymagany czas to Δt.
Rysunek 3 przedstawia wektor położenia Ziemi względem Słońca, oznaczony przez r. Gdy Ziemia porusza się, doświadcza przesunięcia Δr.
Obszar ten odpowiada połowie powierzchni prostokąta pokazanego na rysunku 3:
Iloraz Δr / Δt jest dokładnie prędkością liniową Ziemi, więc prędkość areolarna pozostaje jako:
Jednostkami v A w systemie międzynarodowym są:
Zauważ, że chociaż zarówno r, jak i v różnią się, produkt pozostaje stały. To przekształca prędkość areolarną w bardzo odpowiednią wielkość, aby scharakteryzować ruch planety wokół jej gwiazdy.
Iloczyn r i v jest wielkością momentu pędu L, tak że prędkość areolarna może być wyrażona jako:
Obliczanie prędkości liniowej i prędkości areolarnej
W poniższym przykładzie pokażemy, jak obliczyć prędkość areolarną, gdy znamy niektóre parametry ruchu planet:
Ćwiczenie
Zgodnie z prawami Keplera planeta egzo porusza się wokół swojego słońca po orbicie eliptycznej. Kiedy znajduje się w periastrum, jego wektorem radiowym jest r 1 = 4 · 10 7 km, a gdy znajduje się w apoasterze, to r 2 = 15 · 10 7 km. Prędkość liniowa przy jej obwodzie wynosi v 1 = 1000 km / s.
Oblicz:
A) Wielkość prędkości w apoastro.
B) Prędkość areolarna planety egzo.
C) Długość półosi głównej elipsy.
Odpowiedź A)
Równanie jest używane:
w którym wartości liczbowe są podstawione.
Każdy termin jest identyfikowany w następujący sposób:
v 1 = prędkość w apoastro; v 2 = prędkość w obwodzie; r 1 = odległość od apoaster,
r 2 = odległość peryferii.
Z tymi wartościami otrzymujesz:
Odpowiedź B)
Stosowane równanie to
w którym para wartości r i v periastro lub apoastro może być zastąpiona, ponieważ v A jest stałą planety:
Odpowiedź C)
Długość półosi średniej elipsy jest połową szczytu apoaster i periastrum:
Bibliografia
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 1 Meksyk Cengage Learning Publishers. 367-372.
- Stern, D. (2005). Trzy prawa Keplera Ruchu Planetarnego. Pobrane z pwg.gsfc.nasa.gov
- Uwaga: proponowane ćwiczenie zostało zrobione i zmodyfikowane z następującego tekstu w książce McGrawHill. Niestety jest to oddzielny rozdział w formacie pdf, bez tytułu lub autora: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf
