Prędkość kątowa: definicja, wzór, sposób obliczania i rozwiązywanie ćwiczeń
Prędkość kątowa jest miarą prędkości obrotowej i jest definiowana jako kąt, który obraca wektor położenia obracającego się obiektu na jednostkę czasu. Jest to wielkość, która bardzo dobrze opisuje ruch wielu obiektów, które stale się obracają wszędzie: płyty CD, koła samochodowe, maszyny, Ziemia i wiele innych.
Schemat „London Eye” można zobaczyć na poniższym rysunku. Reprezentuje ruch pasażera reprezentowanego przez punkt P, który podąża po ścieżce kołowej, zwanej c:
Zależność między prędkością liniową a kątową
Prędkość liniowa v jest ilorazem przebytej odległości od upływu czasu podróży.
Na powyższym rysunku ścieżka łuku wynosi Δs. Ale łuk ten jest proporcjonalny do przebytego kąta i promienia, spełniając następującą zależność, która jest ważna, gdy Δφ jest mierzone w radianach:
Δs = r · Δφ
Jeśli podzielimy poprzednie wyrażenie między upływem czasu Δt i przyjęciem limitu, gdy Δt ➡0, uzyskamy:
v = r · ω
Jednolity ruch obrotowy
Ponadto, gdy wykonywany jest pełny obrót, pokonany kąt wynosi 2π (odpowiednik 360º). Dlatego też, w jednolitej rotacji, prędkość kątowa ω jest związana z okresem T, za pomocą następującego wzoru:
f = 1 / T
Oznacza to, że w jednolitej rotacji prędkość kątowa jest związana z częstotliwością przez:
ω = 2π · f
Rozwiązane ćwiczenia prędkości kątowej
Ćwiczenie 1
Kabiny wielkiego obracającego się koła zwanego „ The London Eye ” poruszają się powoli. Prędkość kabin wynosi 26 cm / s, a koło ma 135 m średnicy.
Z tymi danymi oblicz:
i) Prędkość kątowa koła
ii) Częstotliwość rotacji
iii) Czas potrzebny do pełnego okrążenia kabiny.
Odpowiedzi:
i) Prędkość vwm / s wynosi: v = 26 cm / s = 0, 26 m / s.
Promień to połowa średnicy: r = (135 m) / 2 = 67, 5 m
v = r · ω => ω = v / r = (0, 26 m / s) / (67, 5 m) = 0, 00385 rad / s
ii) ω = 2π · f => f = ω / 2π = (0, 00385 rad / s) / (2π rad) = 6, 13 x 10-4 obrotów / s
f = 6, 13 x 10 ^ -4 obrót / s = 0, 0368 obrót / min = 2, 21 obrót / godzinę.
iii) T = 1 / f = 1 / 2, 21 obrotu / godzinę = 0, 455311 godziny = 27 minut 11 sekund
Ćwiczenie 2
Samochodzik porusza się po okrągłym torze o promieniu 2 metrów. Przy 0 s jego położenie kątowe wynosi 0 rad, ale po pewnym czasie t jego położenie kątowe jest określane przez:
φ (t) = 2 · t
Określ:
i) Prędkość kątowa
ii) Prędkość liniowa w dowolnym momencie.
Odpowiedzi:
i) Prędkość kątowa jest pochodną położenia kątowego: ω = φ '(t) = 2.
To znaczy, że samochodzik przez cały czas ma stałą prędkość kątową równą 2 rad / s.
ii) Prędkość liniowa samochodu wynosi: v = r · ω = 2 m · 2 rad / s = 4 m / s = 14, 4 km / h
Ćwiczenie 3
Ten sam samochód z poprzedniego ćwiczenia zaczyna się zatrzymywać. Jego kątowa pozycja w funkcji czasu jest podana przez następujące wyrażenie:
φ (t) = 2 · t - 0, 5 · t2
Określ:
i) Prędkość kątowa w dowolnym momencie
ii) Prędkość liniowa w dowolnym momencie
iii) Czas potrzebny do zatrzymania od chwili, gdy zacznie zwalniać
iv) Kąt podróży
v) przebyta odległość
Odpowiedzi:
i) Prędkość kątowa jest pochodną położenia kątowego: ω = φ '(t)
ω (t) = φ '(t) = (2 · t - 0, 5 · t2)' = 2 - t
ii) Prędkość liniową samochodu w dowolnym momencie podaje:
v (t) = r · ω (t) = 2 · (2 - t) = 4 - 2 t
iii) Czas potrzebny do zatrzymania się od momentu rozpoczęcia zwalniania jest określany przez poznanie momentu, w którym prędkość v (t) staje się zerem.
v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2
Oznacza to, że zatrzymuje się 2 sekundy po rozpoczęciu hamowania.
iv) W rozpiętości 2s od momentu, w którym zaczyna hamować aż do zatrzymania, przebiega kąt określony przez φ (2):
φ (2) = 2 · 2 - 0, 5 · 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114, 6 stopni
v) W przedziale 2 s od rozpoczęcia hamowania do jego zatrzymania odległość s podana przez:
s = r · φ = 2m · 2 rad = 4 m
Ćwiczenie 4
Koła samochodu mają 80 cm średnicy. Jeśli samochód porusza się do 100 km / h. Znajdź: i) prędkość kątową obrotów kół, ii) częstotliwość obrotów kół, iii) Liczba obrotów, które koło wykonuje w ciągu 1 godziny.
Odpowiedzi:
i) Najpierw zmieńmy prędkość samochodu na Km / szynę / s
v = 100 Km / h = (100 / 3, 6) m / s = 27, 78 m / s
Kątowa prędkość obrotowa kół jest określona przez:
ω = v / r = (27, 78 m / s) / (0, 4 m) = 69, 44 rad / s
ii) Częstotliwość obrotów kół podaje:
f = ω / 2π = (69, 44 rad / s) / (2π rad) = 11, 05 obrotów / s
Częstotliwość obrotów jest zwykle wyrażana w obrotach na minutę rpm
f = 11, 05 obrotu / s = 11, 05 obrotu / (1/60) min = 663, 15 obrotów na minutę
iii) Liczba zwojów, które koło wykonuje w ciągu 1 godziny podróży, jest obliczana, wiedząc, że 1 godzina = 60 minut, a częstotliwość jest liczbą zwojów N podzieloną przez czas, w którym podane są te zwoje N.
f = N / t => N = f · t = 663, 15 (obroty / min) x 60 min = 39788, 7 obrotów.
