Twierdzenie Torricelliego: co składa się z formuł i rozwiązanych ćwiczeń

Twierdzenie Torricellego lub zasada Torricellego mówi, że prędkość cieczy, która wychodzi przez otwór w ścianie zbiornika lub pojemnika, jest identyczna z tą, która uzyskuje przedmiot, który może swobodnie opaść z wysokości równej powierzchni Wolny od cieczy do otworu.

Twierdzenie zilustrowano na poniższym rysunku:

Ze względu na twierdzenie Torricellego możemy stwierdzić, że prędkość wypływu cieczy przez otwór znajdujący się na wysokości h poniżej wolnej powierzchni cieczy jest określona następującym wzorem:

Gdzie g jest przyspieszeniem grawitacji, a h to wysokość od otworu do wolnej powierzchni cieczy.

Evangelista Torricelli był fizykiem i matematykiem urodzonym w mieście Faenza we Włoszech w roku 1608. Torricelli jest uznawany za wynalazcę barometru rtęciowego i w uznaniu istnieje jednostka ciśnieniowa zwana „torr”, odpowiadająca jednemu milimetrowi rtęci (Hg mm).

Demonstracja twierdzenia

W twierdzeniu Torricellego iw formule, która podaje prędkość, zakłada, że straty lepkości są pomijalne, podobnie jak przy swobodnym spadku przypuszcza się, że tarcie spowodowane powietrzem otaczającym spadający obiekt jest nieznaczne.

Powyższe założenie jest w większości przypadków uzasadnione i obejmuje również zachowanie energii mechanicznej.

Aby udowodnić twierdzenie, najpierw znajdziemy formułę prędkości dla obiektu, który jest uwalniany z zerową początkową prędkością, z tej samej wysokości, co powierzchnia cieczy w zbiorniku.

Zasada zachowania energii zostanie zastosowana do uzyskania prędkości spadającego obiektu, gdy opadnie wysokość h równa wysokości z otworu do wolnej powierzchni.

Ponieważ nie ma strat tarcia, ważne jest zastosowanie zasady zachowania energii mechanicznej. Załóżmy, że spadający obiekt ma masę m, a wysokość h jest mierzona od poziomu wyjścia cieczy.

Spadający przedmiot

Gdy obiekt jest uwalniany z wysokości równej wysokości wolnej powierzchni cieczy, jego energia jest tylko potencjałem grawitacyjnym, ponieważ jego prędkość wynosi zero, a zatem jego energia kinetyczna wynosi zero. Energia potencjalna Ep jest dana przez:

Ep = mgh

Gdy przechodzi przez otwór, jego wysokość wynosi zero, a energia potencjalna wynosi zero, więc ma tylko energię kinetyczną Ec podaną przez:

Ec = ½ m v2

Ponieważ energia jest zachowana Ep = Ec tego, co otrzymuje się:

½ m v2 = mgh

Czyszczenie prędkości v otrzymujesz wzór Torricelliego:

Płyn wydostający się z otworu

Następnie znajdziemy prędkość wyjściową cieczy przez otwór, aby pokazać, że pokrywa się ona z tą, która została właśnie obliczona dla obiektu, który spada swobodnie.

W tym celu będziemy opierać się na zasadzie Bernoulliego, która jest niczym innym jak zachowaniem energii przykładanej do płynów.

Zasada Bernoulliego jest sformułowana w następujący sposób:

Interpretacja tej formuły jest następująca:

Pierwszy termin reprezentuje energię kinetyczną płynu na jednostkę objętości
Druga reprezentuje pracę wykonaną przez ciśnienie na jednostkę powierzchni przekroju
Trzecia reprezentuje grawitacyjną energię potencjalną na jednostkę objętości płynu.

Wychodząc z założenia, że jest to płyn idealny, w warunkach nie turbulentnych przy stosunkowo niskich prędkościach, istotne jest potwierdzenie, że energia mechaniczna na jednostkę objętości w płynie jest stała we wszystkich obszarach lub ich przekrojach.

W tym wzorze V oznacza prędkość płynu, ρ gęstość płynu, P ciśnienie i z położenie pionowe.

Na poniższym rysunku pokazano wzór Torricelliego oparty na zasadzie Bernoulliego.

Stosujemy wzór Bernoulliego na wolnej powierzchni cieczy, którą oznaczamy przez (1) oraz w otworze wyjściowym, który oznaczamy (2). Zerowy poziom wysokości został wybrany równo z otworem wyjściowym.

Przy założeniu, że przekrój w (1) jest znacznie większy niż w (2), możemy przyjąć, że szybkość opadania cieczy w (1) jest praktycznie nieistotna.

Z tego powodu umieszczono V1 = 0, ciśnienie, któremu ciecz jest poddawana w (1), to ciśnienie atmosferyczne, a wysokość mierzona od kryzy wynosi h .

Dla sekcji wyjściowej (2) zakładamy, że prędkość wyjściowa wynosi v, ciśnienie, któremu ciecz jest poddawana na wyjściu, jest również ciśnieniem atmosferycznym, a wysokość wyjściowa wynosi zero.

Wartości odpowiadające sekcjom (1) i (2) we wzorze Bernoulliego są zastępowane i wyrównane. Równość jest ważna, ponieważ zakładamy, że płyn jest idealny i nie występują żadne straty lepkości tarcia. Po uproszczeniu wszystkich warunków uzyskuje się prędkość w otworze wyjściowym.

Poprzednie pole pokazuje, że uzyskany wynik jest taki sam, jak obiektu, który swobodnie spada,

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

I ) Mała rura wylotowa zbiornika wody znajduje się 3 m poniżej powierzchni wody. Oblicz prędkość wypływu wody.

Rozwiązanie:

Poniższy rysunek pokazuje, w jaki sposób formuła Torricelliego odnosi się do tego przypadku.

Ćwiczenie 2

II ) Zakładając, że rura wylotowa zbiornika z poprzedniego ćwiczenia ma średnicę 1 cm, oblicz przepływ wylotowy wody.

Rozwiązanie:

Przepływ jest objętością cieczy, która opuszcza jednostkę czasu i jest obliczana po prostu przez pomnożenie powierzchni otworu wylotowego przez prędkość wyjściową.

Poniższy rysunek przedstawia szczegóły obliczeń.