Znaczenie matematyki w rozwiązywaniu sytuacji fizycznych
Znaczenie matematyki w radzeniu sobie z sytuacjami fizycznymi wprowadza zrozumienie, że matematyka jest językiem do formułowania empirycznych praw natury.
Duża część matematyki jest określona przez zrozumienie i definicję relacji między obiektami. W związku z tym fizyka jest szczególnym przykładem matematyki.
Związek między matematyką a fizyką
Generalnie uważany za bardzo intymny związek, niektórzy matematycy opisali tę naukę jako „podstawowe narzędzie dla fizyki”, a fizykę opisano jako „bogate źródło inspiracji i wiedzy w matematyce”.
Rozważania, że matematyka jest językiem natury, można znaleźć w ideach Pitagorasa: przekonanie, że „liczby dominują nad światem” i że „wszystko jest liczbą”.
Idee te zostały również wyrażone przez Galileusza Galilei: „Księga natury jest napisana językiem matematycznym”.
Długo trwało w historii ludzkości, zanim ktoś odkrył, że matematyka jest przydatna, a nawet niezbędna w rozumieniu natury.
Arystoteles uważał, że głębi natury nigdy nie można opisać abstrakcyjną prostotą matematyki.
Galileo rozpoznał i wykorzystał moc matematyki w badaniu przyrody, co pozwoliło jego odkryciom na rozpoczęcie narodzin nowoczesnej nauki.
Fizyk w swoich badaniach zjawisk naturalnych ma dwie metody postępu:
- metoda eksperymentu i obserwacji
- metoda rozumowania matematycznego.
Matematyka w programie mechanicznym
Schemat mechaniczny uważa Wszechświat w całości za system dynamiczny, podlegający prawom ruchu, które są zasadniczo typu newtonowskiego.
Rola matematyki w tym schemacie polega na reprezentowaniu praw ruchu poprzez równania.
Dominującą ideą w tym zastosowaniu matematyki do fizyki jest to, że równania reprezentujące prawa ruchu muszą być wykonane w prosty sposób.
Ta metoda prostoty jest bardzo ograniczona; odnosi się zasadniczo do praw ruchu, a nie do wszystkich zjawisk naturalnych w ogóle.
Odkrycie teorii względności spowodowało konieczność zmiany zasady prostoty. Prawdopodobnie jednym z podstawowych praw ruchu jest prawo grawitacji.
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa wymaga wprowadzenia do fizycznej teorii ogromnej dziedziny czystej matematyki, pełnej domeny związanej z przemiennym mnożeniem.
W przyszłości można by oczekiwać, że opanowanie czystej matematyki będzie spowite fundamentalnymi postępami w fizyce.
Mechanika statyczna, systemy dynamiczne i teoria ergodyczna
Bardziej zaawansowanym przykładem pokazującym głęboką i owocną relację między fizyką a matematyką jest to, że fizyka może ostatecznie opracować nowe koncepcje matematyczne, metody i teorie.
Zostało to wykazane przez historyczny rozwój mechaniki statycznej i teorii ergodycznej.
Na przykład stabilność układu słonecznego była starym problemem badanym przez wielkich matematyków od XVIII wieku.
Była to jedna z głównych motywacji do badania okresowych ruchów w układach ciał, a bardziej ogólnie w systemach dynamicznych, zwłaszcza dzięki pracy Poincarégo w mechanice niebieskiej i badaniach Birkhoffa w ogólnych układach dynamicznych.
Równania różniczkowe, liczby zespolone i mechanika kwantowa
Dobrze wiadomo, że od czasów Newtona równania różniczkowe były jednym z głównych ogniw między matematyką a fizyką, prowadząc zarówno ważne zmiany w analizie, jak i spójność i owocne formułowanie teorii fizycznych.
Być może mniej wiadomo, że wiele ważnych koncepcji analizy funkcjonalnej pochodzi z badań nad teorią kwantową.
