Jakie są rodzaje integralności?
Typy całek, które znajdujemy w obliczeniach, to: Całki nieokreślone i Całki Zdefiniowane. Chociaż całki określone mają znacznie więcej zastosowań niż całki nieokreślone, należy najpierw nauczyć się rozwiązywać całki nieokreślone.
Jednym z najbardziej atrakcyjnych zastosowań całek określonych jest obliczenie objętości bryły rewolucji.
Oba typy całek mają te same właściwości liniowości, a także techniki integracyjne nie zależą od typu całki.
Ale mimo że jest bardzo podobny, istnieje główna różnica; w pierwszym typie całki wynik jest funkcją (która nie jest specyficzna), podczas gdy w drugim typie wynikiem jest liczba.
Dwa podstawowe typy całek
Świat całek jest bardzo szeroki, ale w nim możemy wyróżnić dwa podstawowe typy całek, które mają wielką przydatność w życiu codziennym.
1- Całki nieokreślone
Jeśli F '(x) = f (x) dla wszystkich xw domenie f, mówimy, że F (x) jest pierwotną, prymitywną lub całką f (x).
Z drugiej strony zauważ, że (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), co oznacza, że całka funkcji nie jest unikalna, ponieważ podanie różnych wartości stałej C uzyskamy różne środki pierwotne.
Z tego powodu F (x) + C nazywa się nieokreśloną całką f (x), a C nazywa się stałą całkowania i zapisujemy ją w następujący sposób
Jak widzimy, całka nieokreślona funkcji f (x) jest rodziną funkcji.
Na przykład, jeśli chcesz obliczyć całkę nieokreśloną funkcji f (x) = 3x², musisz najpierw znaleźć pierwotną f (x).
Łatwo zauważyć, że F (x) = x³ jest pierwotną, ponieważ F '(x) = 3x². Dlatego można stwierdzić, że
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Zdefiniowane całki
Niech y = f (x) będzie funkcją rzeczywistą, ciągłą w zamkniętym przedziale [a, b] i niech F (x) będzie pierwotną f (x). Nazywa się ją całką oznaczoną f (x) między granicami a i b oraz liczbą F (b) -F (a) i jest oznaczana następująco
Powyższy wzór jest lepiej znany jako „Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego”. Tutaj „a” nazywa się dolną granicą, a „b” górną. Jak widać, całka oznaczona funkcji jest liczbą.
W tym przypadku, jeśli określona całka f (x) = 3x² jest obliczana w przedziale [0, 3], uzyskana zostanie liczba.
Aby określić tę liczbę, wybieramy F (x) = x³ jako pierwotną wartość f (x) = 3x². Następnie obliczamy F (3) -F (0), co daje nam wynik 27-0 = 27. Podsumowując, całka oznaczona f (x) w przedziale [0.3] wynosi 27.
Można podkreślić, że jeśli wybrano G (x) = x³ + 3, to G (x) jest pierwotną f (x) inną niż F (x), ale nie ma to wpływu na wynik, ponieważ G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Z tego powodu w zdefiniowanych całkach nie pojawia się stała całkowania.
Jedną z najbardziej użytecznych aplikacji tego typu całki jest to, że umożliwia obliczenie powierzchni (objętości) płaskiej figury (bryły obrotowej), ustalenie odpowiednich funkcji i granic integracji (i osi obrotu).
W obrębie zdefiniowanych całek możemy znaleźć różne rozszerzenia tego typu, na przykład całki liniowe, całki powierzchniowe, całki niewłaściwe, całki wielokrotne, między innymi, wszystkie z bardzo przydatnymi zastosowaniami w nauce i inżynierii.
