Jak obliczyć strony i kąty trójkąta?
Istnieje kilka sposobów obliczania boków i kątów trójkąta . Zależą one od rodzaju trójkąta, z którym pracujesz.
W tej okazji pokażemy, jak obliczyć boki i kąty trójkąta prostokątnego, zakładając, że pewne dane trójkąta są znane.
Elementy, które zostaną wykorzystane to:
- Twierdzenie Pitagorasa
Biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny z nogami „a”, „b” i przeciwprostokątną „c”, prawdą jest, że „c² = a² + b²”.
- Powierzchnia trójkąta
Wzór na obliczenie pola dowolnego trójkąta to A = (b × h) / 2, gdzie „b” to długość podstawy i „h” długość wysokości.
- Kąty trójkąta
Suma trzech kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180º.
- Funkcje trygonometryczne:
Rozważmy trójkąt prostokątny. Następnie sinus, cosinus i styczne funkcje trygonometryczne kąta beta (β) definiuje się następująco:
sin (β) = CO / Hip, cos (β) = CA / Hip i tan (β) = CO / CA.
Jak obliczyć boki i kąty trójkąta prostokątnego?
Biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny ABC, mogą wystąpić następujące sytuacje:
1- Dwie nogi są znane
Jeśli noga „a” mierzy 3 cm, a noga „b” mierzy 4 cm, to do obliczenia wartości „c” używa się twierdzenia Pitagorasa. Zastępując wartości «a» i «b» otrzymujemy c² = 25 cm², co oznacza, że c = 5 cm.
Teraz, jeśli kąt β jest przeciwny do nogi „b”, to sin (β) = 4/5. Stosując odwrotną funkcję sinus, w tej ostatniej równości otrzymujemy β = 53, 13 °. Dwa wewnętrzne kąty trójkąta są już znane.
Niech θ będzie kątem, który pozostanie znany, a następnie 90º + 53, 13º + θ = 180º, z którego otrzymamy θ = 36, 87º.
W tym przypadku nie jest konieczne, aby znane boki były dwoma nogami, ważne jest, aby znać wartość dowolnych dwóch boków.
2- Znany jest katet i obszar
Niech a = 3 cm znanej nogi i A = 9 cm² obszaru trójkąta.
W trójkącie prawym jedną nogę można uznać za podstawę, a drugą za wysokość (ponieważ są one prostopadłe).
Przypuśćmy, że „a” jest podstawą, a więc 9 = (3 × h) / 2, z której uzyskuje się, że druga kateteta mierzy 6 cm. Aby obliczyć przeciwprostokątną, postępujemy jak w poprzednim przypadku i otrzymujemy, że c = √45 cm.
Teraz, jeśli kąt β jest przeciwny do nogi „a”, to sin (β) = 3 / √45. Po wyczyszczeniu β uzyskujemy, że jego wartość wynosi 26, 57º. Pozostaje tylko znać wartość trzeciego kąta θ.
Jest spełnione, że 90º + 26, 57º + θ = 180º, z którego wynika, że θ = 63, 43º.
3- Znany jest kąt i noga
Niech β = 45 ° będzie znanym kątem i a = 3 cm znanej nogi, gdzie noga „a” jest przeciwna do kąta β. Korzystając ze wzoru stycznej otrzymujemy tg (45º) = 3 / CA, z którego okazuje się, że CA = 3 cm.
Za pomocą twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że c² = 18 cm², czyli c = 3√2 cm.
Wiadomo, że kąt mierzy 90º i że β mierzy 45º, z którego wywnioskowano, że trzeci kąt wynosi 45º.
W tym przypadku znana strona nie musi być nogą, może to być dowolna z trzech stron trójkąta.