Jak obliczyć strony i kąty trójkąta?

Istnieje kilka sposobów obliczania boków i kątów trójkąta . Zależą one od rodzaju trójkąta, z którym pracujesz.

W tej okazji pokażemy, jak obliczyć boki i kąty trójkąta prostokątnego, zakładając, że pewne dane trójkąta są znane.

Elementy, które zostaną wykorzystane to:

- Twierdzenie Pitagorasa

Biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny z nogami „a”, „b” i przeciwprostokątną „c”, prawdą jest, że „c² = a² + b²”.

- Powierzchnia trójkąta

Wzór na obliczenie pola dowolnego trójkąta to A = (b × h) / 2, gdzie „b” to długość podstawy i „h” długość wysokości.

- Kąty trójkąta

Suma trzech kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180º.

- Funkcje trygonometryczne:

Rozważmy trójkąt prostokątny. Następnie sinus, cosinus i styczne funkcje trygonometryczne kąta beta (β) definiuje się następująco:

sin (β) = CO / Hip, cos (β) = CA / Hip i tan (β) = CO / CA.

Jak obliczyć boki i kąty trójkąta prostokątnego?

Biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny ABC, mogą wystąpić następujące sytuacje:

1- Dwie nogi są znane

Jeśli noga „a” mierzy 3 cm, a noga „b” mierzy 4 cm, to do obliczenia wartości „c” używa się twierdzenia Pitagorasa. Zastępując wartości «a» i «b» otrzymujemy c² = 25 cm², co oznacza, że ​​c = 5 cm.

Teraz, jeśli kąt β jest przeciwny do nogi „b”, to sin (β) = 4/5. Stosując odwrotną funkcję sinus, w tej ostatniej równości otrzymujemy β = 53, 13 °. Dwa wewnętrzne kąty trójkąta są już znane.

Niech θ będzie kątem, który pozostanie znany, a następnie 90º + 53, 13º + θ = 180º, z którego otrzymamy θ = 36, 87º.

W tym przypadku nie jest konieczne, aby znane boki były dwoma nogami, ważne jest, aby znać wartość dowolnych dwóch boków.

2- Znany jest katet i obszar

Niech a = 3 cm znanej nogi i A = 9 cm² obszaru trójkąta.

W trójkącie prawym jedną nogę można uznać za podstawę, a drugą za wysokość (ponieważ są one prostopadłe).

Przypuśćmy, że „a” jest podstawą, a więc 9 = (3 × h) / 2, z której uzyskuje się, że druga kateteta mierzy 6 cm. Aby obliczyć przeciwprostokątną, postępujemy jak w poprzednim przypadku i otrzymujemy, że c = √45 cm.

Teraz, jeśli kąt β jest przeciwny do nogi „a”, to sin (β) = 3 / √45. Po wyczyszczeniu β uzyskujemy, że jego wartość wynosi 26, 57º. Pozostaje tylko znać wartość trzeciego kąta θ.

Jest spełnione, że 90º + 26, 57º + θ = 180º, z którego wynika, że ​​θ = 63, 43º.

3- Znany jest kąt i noga

Niech β = 45 ° będzie znanym kątem i a = 3 cm znanej nogi, gdzie noga „a” jest przeciwna do kąta β. Korzystając ze wzoru stycznej otrzymujemy tg (45º) = 3 / CA, z którego okazuje się, że CA = 3 cm.

Za pomocą twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że c² = 18 cm², czyli c = 3√2 cm.

Wiadomo, że kąt mierzy 90º i że β mierzy 45º, z którego wywnioskowano, że trzeci kąt wynosi 45º.

W tym przypadku znana strona nie musi być nogą, może to być dowolna z trzech stron trójkąta.