Przyspieszenie kątowe: jak to obliczyć i przykłady
Przyspieszenie kątowe jest zmianą, która wpływa na prędkość kątową z uwzględnieniem jednostki czasu. Jest reprezentowany przez grecką literę alfa, α. Przyspieszenie kątowe jest wielkością wektorową; dlatego składa się z modułu, kierunku i sensu.
Jednostką pomiaru przyspieszenia kątowego w układzie międzynarodowym jest radian na sekundę do kwadratu. W ten sposób przyspieszenie kątowe pozwala określić, jak prędkość kątowa zmienia się w czasie. Często bada się przyspieszenie kątowe związane z równomiernie przyspieszonymi ruchami kołowymi.
Moment obrotowy i przyspieszenie kątowe
W przypadku ruchu liniowego, zgodnie z drugim prawem Newtona, wymagana jest siła, aby ciało mogło uzyskać określone przyspieszenie. Ta siła jest wynikiem mnożenia masy ciała i przyspieszenia, którego doświadcza.
Jednak w przypadku ruchu kołowego siła wymagana do nadania przyspieszenia kątowego jest nazywana momentem obrotowym. Krótko mówiąc, moment obrotowy można rozumieć jako siłę kątową. Jest oznaczony grecką literą τ (wymawiane „tau”).
Podobnie, należy wziąć pod uwagę, że w ruchu obrotowym moment bezwładności I ciała wykonuje rolę masy w ruchu liniowym. W ten sposób moment obrotowy ruchu kołowego jest obliczany z następującym wyrażeniem:
τ = I α
W tym wyrażeniu I jest momentem bezwładności ciała względem osi obrotu.
Przykłady
Pierwszy przykład
Określić chwilowe przyspieszenie kątowe ciała poruszającego się w wyniku ruchu obrotowego, biorąc pod uwagę jego położenie w obrocie Θ (t) = 4 t3 i. (Ponieważ i jest wektorem jednostkowym w kierunku osi x).
Określ także wartość chwilowego przyspieszenia kątowego, gdy minęło 10 sekund od początku ruchu.
Rozwiązanie
Wyrażenie prędkości kątowej można uzyskać z wyrażenia pozycji:
ω (t) = d Θ / dt = 12 t2i (rad / s)
Po obliczeniu chwilowej prędkości kątowej chwilowe przyspieszenie kątowe można obliczyć w funkcji czasu.
α (t) = dω / dt = 24 ti (rad / s2)
Aby obliczyć wartość chwilowego przyspieszenia kątowego, gdy upłynęło 10 sekund, wystarczy zastąpić wartość czasu w poprzednim wyniku.
α (10) = = 240 i (rad / s2)
Drugi przykład
Określ średnie przyspieszenie kątowe ciała, które doświadcza ruchu kołowego, wiedząc, że jego początkowa prędkość kątowa wynosiła 40 rad / s, a po 20 sekundach osiągnęła prędkość kątową 120 rad / s.
Rozwiązanie
Z następującego wyrażenia można obliczyć średnie przyspieszenie kątowe:
α = Δω / Δt
α = (ω f - ω 0 ) / (t f - t 0 ) = (120 - 40) / 20 = 4 rad / s
Trzeci przykład
Jakie będzie przyspieszenie kątowe koła, które zaczyna poruszać się z równomiernie przyspieszonym ruchem kołowym, aż po 10 sekundach osiągnie prędkość kątową 3 obrotów na minutę? Jakie będzie przyspieszenie styczne ruchu kołowego w tym okresie czasu? Promień koła wynosi 20 metrów.
Rozwiązanie
Po pierwsze, konieczne jest przekształcenie prędkości kątowej z obrotów na minutę na radiany na sekundę. W tym celu przeprowadzana jest następująca transformacja:
ω f = 3 rpm = 3 ∙ (2 Π Π) / 60 = Π / 10 rad / s
Po przeprowadzeniu tej transformacji możliwe jest obliczenie przyspieszenia kątowego, ponieważ:
ω = ω 0 + α ∙ t
Π / 10 = 0 + α ∙ 10
α = Π / 100 rad / s2
Przyspieszenie styczne wynika z działania następującego wyrażenia:
α = a / R
a = α ∙ R = 20 ∙ Π / 100 = Π / 5 m / s2
