Potencjalny gradient: charakterystyka, jak to obliczyć i przykład

Gradient potencjalny jest wektorem reprezentującym relację zmiany potencjału elektrycznego w odniesieniu do odległości w każdej osi kartezjańskiego układu współrzędnych. Zatem wektor gradientu potencjału wskazuje kierunek, w którym szybkość zmiany potencjału elektrycznego jest większa, w funkcji odległości.

Z kolei moduł gradientu potencjału odzwierciedla szybkość zmiany zmienności potencjału elektrycznego w określonym kierunku. Jeśli wartość tego jest znana w każdym punkcie obszaru przestrzennego, to pole elektryczne można uzyskać z gradientu potencjału.

Pole elektryczne jest zdefiniowane jako wektor, z którym ma określony kierunek i wielkość. Określając kierunek, w którym potencjał elektryczny maleje szybciej, oddalając się od punktu odniesienia i dzieląc tę wartość przez przebytą odległość, uzyskuje się wielkość pola elektrycznego.

Funkcje

Gradient potencjalny jest wektorem ograniczonym przez określone współrzędne przestrzenne, które mierzą relację zmiany między potencjałem elektrycznym a odległością przebytą przez wspomniany potencjał.

Najbardziej wyróżniające cechy gradientu potencjału elektrycznego są opisane poniżej:

1- Gradient potencjalny jest wektorem. Dlatego ma określoną wielkość i kierunek.

2- Ponieważ gradient potencjału jest wektorem w przestrzeni, ma on wielkości adresowane w osiach X (szerokość), Y (wysoka) i Z (głębokość), jeśli kartezjański układ współrzędnych jest traktowany jako odniesienie.

3- Ten wektor jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej w punkcie, w którym ocenia się potencjał elektryczny.

4- Wektor gradientu potencjału jest skierowany w kierunku maksymalnego zróżnicowania funkcji potencjału elektrycznego w dowolnym punkcie.

5- Moduł gradientu potencjału jest równy modułowi pochodzącemu z funkcji potencjału elektrycznego w odniesieniu do odległości przebytej w kierunku każdej z osi układu współrzędnych kartezjańskich.

6- Gradient potencjalny ma wartość zerową w punktach stacjonarnych (punkty maksymalne, minimalne i siodłowe).

7- W międzynarodowym systemie jednostek (SI) jednostkami miary gradientu potencjału są wolty / metry.

8- Kierunek pola elektrycznego jest taki sam, w którym potencjał elektryczny szybciej maleje. Z kolei potencjalny gradient wskazuje kierunek, w którym potencjał zwiększa swoją wartość w stosunku do zmiany pozycji. Następnie pole elektryczne ma tę samą wartość gradientu potencjału, ale z przeciwnym znakiem.

Jak to obliczyć?

Różnicę potencjałów elektrycznych między dwoma punktami (punkt 1 i punkt 2) podaje następujące wyrażenie:

Gdzie:

V1: potencjał elektryczny w punkcie 1.

V2: potencjał elektryczny w punkcie 2.

E: wielkość pola elektrycznego.

Ѳ: kąt nachylenia wektora pola elektrycznego mierzony w stosunku do układu współrzędnych.

Wyrażając tę formułę w różny sposób, wywnioskowano, co następuje:

Współczynnik E * cos (Ѳ) odnosi się do modułu składowej pola elektrycznego w kierunku dl. Niech L będzie osią poziomą płaszczyzny odniesienia, a następnie cos (Ѳ) = 1, tak:

Poniżej, iloraz między zmianą potencjału elektrycznego (dV) a zmianą przebytej odległości (ds) jest modułem gradientu potencjału dla tego komponentu.

Wynika z tego, że wielkość gradientu potencjału elektrycznego jest równa składowej pola elektrycznego w kierunku badania, ale z przeciwnym znakiem.

Ponieważ jednak rzeczywiste środowisko jest trójwymiarowe, gradient potencjału w danym punkcie musi być wyrażony jako suma trzech elementów przestrzennych na osiach X, Y i Z układu kartezjańskiego.

Dzieląc wektor pola elektrycznego na trzy prostokątne elementy, mamy następujące:

Jeśli w płaszczyźnie znajduje się obszar, w którym potencjał elektryczny ma tę samą wartość, pochodna cząstkowa tego parametru w odniesieniu do każdej ze współrzędnych kartezjańskich będzie równa zero.

Zatem w punktach znajdujących się na powierzchniach ekwipotencjalnych natężenie pola elektrycznego będzie mieć zerową wielkość.

Wreszcie, wektor gradientu potencjału można zdefiniować jako dokładnie ten sam wektor pola elektrycznego (pod względem wielkości), z przeciwnym znakiem. Mamy więc następujące:

Przykład

Z powyższych obliczeń musisz:

Jednak przed określeniem pola elektrycznego w funkcji gradientu potencjału lub odwrotnie, należy najpierw określić kierunek, w którym wzrasta różnica potencjałów elektrycznych.

Następnie określa się iloraz zmienności potencjału elektrycznego i zmiany przebytej odległości netto.

W ten sposób uzyskuje się wielkość powiązanego pola elektrycznego, która jest równa wielkości gradientu potencjału w tej współrzędnej.

Ćwiczenie

Istnieją dwie równoległe płytki, jak pokazano na poniższym rysunku.

Krok 1

Określany jest kierunek wzrostu pola elektrycznego w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Pole elektryczne rośnie tylko w kierunku poziomym, biorąc pod uwagę układ równoległych płyt. W konsekwencji można wywnioskować, że składowe gradientu potencjału na osi Y i osi Z są zerowe.

Krok 2

Dane będące przedmiotem zainteresowania są dyskryminowane.

- Różnica potencjałów: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.

- Różnica odległości: dx = 10 centymetrów.

Aby zagwarantować zgodność jednostek miary stosowanych zgodnie z Międzynarodowym Systemem Jednostek, ilości, które nie są wyrażone w SI, muszą być odpowiednio przeliczone. Zatem 10 centymetrów równa się 0, 1 metra, a na koniec: dx = 0, 1 metra.