Stała integracji: znaczenie, sposób jej obliczania i przykłady

Stała całkowania jest wartością dodaną do obliczeń pierwotnych lub całek, służy do reprezentowania rozwiązań, które tworzą prymityw funkcji. Wyraża wrodzoną dwuznaczność, w której każda funkcja ma nieskończoną liczbę prymitywów.

Na przykład, jeśli funkcja zostanie podjęta: f (x) = 2x + 1 i otrzymamy jej pierwotną:

∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C ; Gdzie C jest stałą całkowania i graficznie przedstawia pionowe przesunięcie między nieskończonymi możliwościami prymitywnego. Prawdą jest, że (x2 + x) jest jednym z prymitywów f (x).

W ten sam sposób możemy zdefiniować a (x2 + x + C ) jako prymitywny element f (x).

Odwróć własność

Można zauważyć, że podczas wyprowadzania wyrażenia (x2 + x) uzyskuje się funkcję f (x) = 2x + 1. Wynika to z odwrotnej właściwości istniejącej między wyprowadzeniem i całkowaniem funkcji. Ta właściwość pozwala na uzyskanie formuł integracji począwszy od zróżnicowania. Co pozwala na weryfikację całek za pomocą tych samych pochodnych.

Jednak (x2 + x) nie jest jedyną funkcją, której pochodna jest równa (2x + 1).

d ( x2 + x) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 1) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 2) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 3) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + C ) / dx = 2x + 1

Gdzie 1, 2, 3 i 4 reprezentują poszczególne prymitywy f (x) = 2x + 1. Podczas gdy 5 reprezentuje całkę nieokreśloną lub pierwotną f (x) = 2x + 1.

Prymitywy funkcji są osiągane poprzez proces wykluczania lub całkowania. Gdzie F będzie prymitywem f, jeśli poniższe jest prawdziwe

y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = stała integracji
F '(x) = f (x)

Docenia się, że funkcja ma jedną pochodną, w przeciwieństwie do jej nieskończonych prymitywów wynikających z integracji.

Całka nieokreślona

∫ f (x) dx = F (x) + C

Odpowiada rodzinie krzywych o tym samym wzorze, które doświadczają niezgodności w wartości obrazów każdego punktu (x, y). Każda funkcja zgodna z tym wzorem będzie indywidualnym prymitywem, a zbiór wszystkich funkcji jest znany jako całka nieokreślona.

Wartość stałej integracji będzie taka, która różnicuje każdą funkcję w praktyce.

Stała całkowania sugeruje przesunięcie pionowe we wszystkich wykresach reprezentujących prymitywy funkcji. Gdzie obserwuje się równoległość między nimi, oraz fakt, że C jest wartością przemieszczenia.

Zgodnie z powszechnymi praktykami stała całkowania jest oznaczana literą „C” po dodaniu, chociaż w praktyce obojętne jest, czy stała jest dodawana czy odejmowana. Jego rzeczywistą wartość można znaleźć na różne sposoby, w zależności od różnych warunków początkowych .

Inne znaczenia stałej integracji

Mówiliśmy już o tym, jak stała integracji jest stosowana w gałęzi rachunku całkowego ; Reprezentowanie rodziny krzywych definiujących całkę nieokreśloną. Jednak wiele innych nauk i gałęzi przypisało bardzo interesujące i praktyczne wartości stałej integracji, które ułatwiły opracowanie wielu badań.

W fizyce stała całkowania może przyjmować wiele wartości w zależności od charakteru danych. Bardzo częstym przykładem jest znajomość funkcji V (t), która reprezentuje prędkość cząstki w funkcji czasu t. Wiadomo, że obliczenie prymitywu V (t) daje funkcję R (t), która reprezentuje pozycję cząstki w funkcji czasu.

Stała całkowania będzie reprezentować wartość pozycji początkowej, to znaczy w chwili t = 0.

Podobnie, jeśli znamy funkcję A (t), która reprezentuje przyspieszenie cząstki w funkcji czasu. Prymityw A (t) spowoduje powstanie funkcji V (t), gdzie stała całkowania będzie wartością prędkości początkowej V ₀ .

W ekonomii poprzez uzyskanie prymitywu funkcji kosztu przez integrację. Stała integracji będzie reprezentować koszty stałe. I tak wiele innych aplikacji, które wymagają rachunku różniczkowego i całkowego.

Jak obliczana jest stała całkowania?

W celu obliczenia stałej całkowania zawsze konieczne będzie poznanie warunków początkowych . Które są odpowiedzialne za określenie, który z możliwych prymitywów jest odpowiedni.

W wielu aplikacjach jest traktowany jako zmienna niezależna w czasie (t), gdzie stała C przyjmuje wartości, które określają warunki początkowe danego przypadku.

Jeśli wzięto pierwszy przykład: ∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C

Prawidłowym warunkiem początkowym może być warunkowanie wykresu, aby przechodził przez określoną współrzędną. Na przykład wiadomo, że prymityw (x2 + x + C) przechodzi przez punkt (1, 2)

F (x) = x2 + x + C; to jest ogólne rozwiązanie

F (1) = 2

W tej równości zastępujemy ogólne rozwiązanie

F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2

Skąd łatwo wywnioskować, że C = 0

W ten sposób odpowiadającym prymitywem dla tego przypadku jest F (x) = x2 + x

Istnieje kilka rodzajów ćwiczeń numerycznych, które działają ze stałymi integracji . W rzeczywistości obliczenia różnicowe i całkowe nie przestają obowiązywać w bieżących badaniach. Na różnych poziomach akademickich można je znaleźć; od wstępnych obliczeń, między innymi przez fizykę, chemię, biologię, ekonomię.

Widać to również w badaniach równań różniczkowych, gdzie stała całkowania może przyjmować różne wartości i rozwiązania, co wynika z wielu wyprowadzeń i integracji, które są dokonywane w tej materii.

Przykłady

Przykład 1

Działo o wysokości 30 metrów wystrzeliwuje pocisk pionowo w górę. Wiadomo, że początkowa prędkość pocisku wynosi 25 m / s. Określ:

Funkcja określająca położenie pocisku względem czasu.
Czas lotu lub moment czasu, w którym cząstka dotyka ziemi.

Wiadomo, że w jednorodnie zróżnicowanym ruchu prostoliniowym przyspieszenie jest wartością stałą. Tak jest w przypadku wystrzeliwania pocisku, gdzie przyspieszenie będzie grawitacją

g = - 10 m / s2

Wiadomo również, że przyspieszenie jest drugą pochodną położenia, co wskazuje na podwójną integrację w rozdzielczości ćwiczenia, uzyskując w ten sposób dwie stałe całkowania.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Początkowe warunki ćwiczenia wskazują, że prędkość początkowa wynosi V ₀ = 25 m / s. Jest to prędkość w chwili czasu t = 0. Wynika stąd, że:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ i C ₁ = 25

Funkcja prędkości jest zdefiniowana

V (t) = -10t + 25; Można zaobserwować podobieństwo z formułą MRUV (V _f = V ₀ + axt)

W sposób homologiczny funkcja prędkości jest zintegrowana w celu uzyskania wyrażenia określającego pozycję:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t2 + 25t + C ₂

R (t) = -5t2 + 25t + C ₂ (pozycja pierwotna)

Pozycja początkowa R (0) = 30 m jest znana. Następnie obliczany jest konkretny prymityw pocisku.

R (0) = 30 m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C ₂ . Gdzie C ₂ = 30

Pierwsza sekcja jest rozwiązana, ponieważ R (t) = -5t2 + 25t + 30 ; To wyrażenie jest homologiczne do wzoru przemieszczenia w MRUV R (t) = R ₀ + V ₀ t - gt2 / 2

W drugiej części musimy rozwiązać równanie kwadratowe: -5t2 + 25t + 30 = 0

Ponieważ warunkuje to cząstkę docierającą do ziemi (pozycja = 0)

W rzeczywistości równanie drugiej klasy daje nam 2 rozwiązania T: {6, -1}. Wartość t = -1 jest ignorowana, ponieważ to jednostki czasu, których domena nie zawiera liczb ujemnych.

W ten sposób rozwiązana zostaje druga sekcja, w której czas lotu wynosi 6 sekund.

Przykład 2

Znajdź prymitywny f (x), który spełnia warunki początkowe:

f "(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Z informacją o drugiej pochodnej f '' (x) = 4 rozpoczyna się proces dezaktywacji

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Następnie, znając warunek f '(2) = 2, kontynuuj:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 i f '(x) = 4x - 8

Ta sama procedura jest stosowana dla drugiej stałej całkowania

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x2 - 8x + C ₂

Początkowy warunek f (0) = 7 jest znany i kontynuujemy:

2 (0) 2 - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 i f (x) = 2x2 - 8x + 7

f "(x) = x2; f '(0) = 6; f (0) = 3

W sposób podobny do poprzedniego problemu definiujemy pierwsze pochodne i pierwotną funkcję z warunków początkowych.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x2) dx = (x3 / 3) + C ₁

Przy warunku f '(0) = 6 postępuj:

(03/3) + C ₁ = 6; Gdzie C ₁ = 6 i f '(x) = (x3 / 3) + 6

Następnie druga stała integracji

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x3 / 3) + 6] dx = (x4 / 12) + 6x + C ₂

Początkowy warunek f (0) = 3 jest znany i kontynuuj:

[(0) 4/12] + 6 (0) + C ₂ = 3; Gdzie C ₂ = 3

W ten sposób uzyskuje się określony prymityw

f (x) = (x4 / 12) + 6x + 3

Przykład 3

Zdefiniuj prymitywne funkcje podane dla pochodnych i punktu wykresu:

dy / dx = 2x - 2 Co dzieje się przez punkt (3, 2)

Ważne jest, aby pamiętać, że pochodne odnoszą się do nachylenia linii stycznej do krzywej w pewnym punkcie. Gdzie nie jest poprawne założenie, że wykres pochodnej dotyka wskazanego punktu, ponieważ należy on do wykresu funkcji pierwotnej.

W ten sposób wyrażamy równanie różniczkowe w następujący sposób:

dy = ( 2x - 2) dx ; następnie, stosując kryteria wykluczania, mamy:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x2 - 2x + C

Stosowanie warunku początkowego:

2 = (3) 2 - 2 (3) + C

C = -1

Otrzymujesz: f (x) = x2 - 2x - 1

dy / dx = 3x2 - 1 Co dzieje się przez punkt (0, 2)

Wyrażamy równanie różniczkowe w następujący sposób:

dy = ( 3x2 - 1) dx ; następnie, stosując kryteria wykluczania, mamy:

∫dy = ∫ ( 3x2 - 1) dx

y = x3 - x + C

Stosowanie warunku początkowego:

2 = (0) 2 - 2 (0) + C

C = 2

Otrzymujesz: f (x) = x3 - x + 2

Proponowane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Znajdź prymitywny f (x), który spełnia warunki początkowe:

f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
f "(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Ćwiczenie 2

Balon, który unosi się z prędkością 16 stóp / s, uwalnia worek piasku z wysokości 64 stóp nad poziomem ziemi.

Określ czas lotu
Jaki będzie wektor _Vf, gdy dotknie podłogi?

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono wykres czasu przyspieszania samochodu poruszającego się w dodatnim kierunku osi x. Samochód jechał ze stałą prędkością 54 km / h, gdy kierowca zatrzymał się w 10 sekund. Określ: