Geometria analityczna: jakie badania, historia, zastosowania

Geometria analityczna bada linie i figury geometryczne, stosując podstawowe techniki algebry i analizę matematyczną w określonym układzie współrzędnych.

W konsekwencji geometria analityczna jest gałęzią matematyki, która szczegółowo analizuje wszystkie dane figur geometrycznych, tj. Objętość, kąty, obszar, punkty przecięcia, ich odległości, między innymi.

Podstawową cechą geometrii analitycznej jest to, że pozwala ona na przedstawienie figur geometrycznych za pomocą wzorów.

Na przykład koła są reprezentowane przez równania wielomianowe drugiego stopnia, podczas gdy linie są wyrażane za pomocą równań wielomianowych pierwszego stopnia.

Geometria analityczna pojawiła się w XVII wieku z powodu konieczności udzielenia odpowiedzi na problemy, które do tej pory nie miały rozwiązania. Miał jako najlepszych przedstawicieli René Descartes i Pierre de Fermat.

Obecnie wielu autorów wskazuje go na rewolucyjne dzieło w historii matematyki, ponieważ stanowi początek współczesnej matematyki.

Historia geometrii analitycznej

Termin geometria analityczna pojawia się we Francji w XVII wieku z powodu potrzeby udzielenia odpowiedzi na problemy, których nie można rozwiązać przy użyciu algebry i geometrii w izolacji, ale rozwiązanie polegało na łącznym wykorzystaniu obu.

Główni przedstawiciele geometrii analitycznej

W XVII wieku dwie osoby francuskie, przypadkowo, przeprowadziły badania, które w taki czy inny sposób zakończyły się stworzeniem geometrii analitycznej. Ci ludzie byli Pierre de Fermat i René Descartes.

Obecnie uważa się, że twórcą geometrii analitycznej był René Descartes. Dzieje się tak dlatego, że opublikował swoją książkę przed Fermatem, a także do głębi z Kartezjuszem zajmuje się tematem geometrii analitycznej.

Jednak zarówno Fermat, jak i Descartes odkryli, że linie i figury geometryczne można wyrazić za pomocą równań, a równania można wyrazić jako linie lub figury geometryczne.

Zgodnie z odkryciami dokonanymi przez tych dwóch, można powiedzieć, że obaj są twórcami geometrii analitycznej.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat był francuskim matematykiem, który urodził się w 1601 r. I zmarł w 1665 r. Podczas swojego życia studiował geometrię Euklidesa, Apolloniusza i Pappusa, aby rozwiązać istniejące wówczas problemy pomiarowe.

Następnie badania te uwolniły tworzenie geometrii. Zostały one wyrażone w jego książce „ Wprowadzenie do płaskich i solidnych miejsc ” (Ad Locos Planes et Solidos Isagoge), która została opublikowana 14 lat po jego śmierci w 1679 roku.

Pierre de Fermat zastosował w 1623 r. Geometrię analityczną do twierdzeń Apolloniusza o miejscach geometrycznych. Po raz pierwszy zastosował geometrię analityczną w przestrzeni trzech wymiarów.

René Kartezjusz

Znany również jako Kartezjusz był matematykiem, fizykiem i filozofem, urodzonym 31 marca 1596 r. We Francji i zmarłym w 1650 r.

René Descartes opublikował w 1637 r. Swoją książkę „ Dyskurs o metodzie racjonalnego prowadzenia pojazdu i szuka prawdy w naukach ”, lepiej znaną jako „ Metoda ”, a stamtąd wprowadzono na świecie termin geometria analityczna. Jednym z jego załączników był „Geometria”.

Podstawowe elementy geometrii analitycznej

Geometria analityczna składa się z następujących elementów:

Kartezjański układ współrzędnych

Ten system nosi nazwę René Descartes.

To nie on go nazwał, ani ten, który wypełnił kartezjański układ współrzędnych, ale to on mówił o współrzędnych z liczbami dodatnimi, pozwalając przyszłym uczonym na jego uzupełnienie.

System ten składa się z prostokątnego układu współrzędnych i biegunowego układu współrzędnych.

Prostokątne układy współrzędnych

Nazywa się to prostokątnymi układami współrzędnych do płaszczyzny utworzonej przez linię dwóch prostopadłych linii liczbowych, gdzie punkt cięcia pokrywa się ze wspólnym zerem.

Następnie system ten zostanie dopasowany przez poziomą i pionową linię.

Linia pozioma jest osią X lub osi odciętej. Linia pionowa byłaby osią Y lub osi rzędnych.

Układ współrzędnych biegunowych

Ten system jest odpowiedzialny za weryfikację względnego położenia punktu w stosunku do linii stałej i stałego punktu na linii.

Kartezjańskie równanie linii

Równanie to uzyskuje się z linii, gdy znane są dwa punkty, w których przechodzi.

Linia prosta

Jest to taki, który nie odchyla się i dlatego nie ma krzywych ani kątów.

Conics

Są to krzywe zdefiniowane przez proste linie przechodzące przez stały punkt i punkty krzywej.

Elipsa, obwód, parabola i hiperbola są krzywymi stożkowymi. Każda z nich jest opisana poniżej.

Obwód

Nazywany jest obwodem zamkniętej płaskiej krzywej, która jest tworzona przez wszystkie punkty równoodległej płaszczyzny punktu wewnętrznego, to znaczy środka obwodu.

Parabola

Jest to miejsce punktów płaszczyzny, które znajdują się w równej odległości od stałego punktu (ostrości) i linii stałej (directrix). Następnie wytyczna i skupienie określają przypowieść.

Parabolę można uzyskać jako przekrój stożkowej powierzchni obrotowej przez płaszczyznę równoległą do tworzącej.

Elipsa

Elipsa nazywana jest krzywą zamkniętą, która opisuje punkt poruszający się w płaszczyźnie w taki sposób, że suma jego odległości do dwóch (2) punktów stałych (zwanych ogniskami) jest stała.

Hiperbola

Hiperbola jest krzywą zdefiniowaną jako miejsce punktów płaszczyzny, dla których różnica między odległościami dwóch stałych punktów (ognisk) jest stała.

Hiperbola ma oś symetrii, która przechodzi przez ogniska, zwane osią ogniskową. Ma też inną, która jest pośrednikiem segmentu, który ma stałe punkty za pomocą skrajności.

Aplikacje

Istnieją różne zastosowania geometrii analitycznej w różnych obszarach życia codziennego. Na przykład, możemy znaleźć parabolę, jeden z podstawowych elementów geometrii analitycznej, w wielu narzędziach, które są używane codziennie. Niektóre z tych narzędzi są następujące:

Antena satelitarna

Anteny paraboliczne mają reflektor generowany w wyniku paraboli, która obraca się wokół osi wspomnianej anteny. Powierzchnia generowana w wyniku tego działania nazywana jest paraboloidą.

Ta pojemność paraboloidy jest nazywana właściwością optyczną lub właściwością odbicia paraboli, i dzięki temu możliwe jest, że paraboloida odbija fale elektromagnetyczne otrzymywane z mechanizmu zasilającego, który tworzy antenę.

Wiszące mosty

Gdy lina utrzymuje ciężar jednorodny, ale jednocześnie jest znacznie większy niż ciężar samej liny, rezultatem będzie parabola.

Zasada ta ma zasadnicze znaczenie dla konstrukcji mostów podwieszanych, które są zwykle wspierane przez duże konstrukcje lin stalowych.

Zasada paraboli w wiszących mostach została wykorzystana w strukturach takich jak most Golden Gate, położony w mieście San Francisco w Stanach Zjednoczonych, lub Wielki Most Cieśniny Akashi, który znajduje się w Japonii i łączy Wyspę Awaji z Honshū, główną wyspą tego kraju.

Analiza astronomiczna

Geometria analityczna ma również bardzo specyficzne i determinujące zastosowania w dziedzinie astronomii. W tym przypadku elementem geometrii analitycznej, który zajmuje centralne miejsce, jest elipsa; Prawo Johannesa Keplera dotyczące ruchu planet jest tego odzwierciedleniem.

Kepler, matematyk i niemiecki astronom, ustalił, że elipsa jest krzywą, która lepiej dopasowuje ruch Marsa; wcześniej wypróbował model kołowy zaproponowany przez Kopernika, ale w trakcie swoich eksperymentów wywnioskował, że elipsa służyła do rysowania orbity doskonale podobnej do planety, którą badał.

Dzięki elipsie Kepler mógł potwierdzić, że planety poruszały się po orbitach eliptycznych; tym rozważaniem było wypowiedzenie tzw. drugiego prawa Keplera.

Z tego odkrycia, wzbogaconego później przez angielskiego fizyka i matematyka Izaaka Newtona, można było badać ruchy orbitalne planet i zwiększać wiedzę o wszechświecie, którego jesteśmy częścią.

Teleskop Cassegraina

Teleskop Cassegraina został nazwany na cześć jego wynalazcy, francuskiego fizyka Laurenta Cassegraina. W tym teleskopie stosuje się zasady geometrii analitycznej, ponieważ składa się ona głównie z dwóch luster: pierwsze jest wklęsłe i paraboliczne, a drugie charakteryzuje się wypukłością i hiperboliką.

Położenie i charakter tych zwierciadeł pozwala na to, że defekt znany jako aberracja sferyczna nie ma miejsca; ta wada zapobiega odbijaniu się promieni światła w ognisku danej soczewki.

Teleskop Cassegraina jest bardzo przydatny do obserwacji planet, a także jest dość wszechstronny i łatwy w obsłudze.