Transformata Fouriera: właściwości, zastosowania, przykłady i ćwiczenia

Transformata Fouriera jest metodą adaptacyjnej analizy zorientowanej na funkcje całkowalne, które należą do rodziny transformacji zintegrowanych . Składa się z przedefiniowania funkcji f (t) w kategoriach Cos (t) i Sen (t).

Tożsamości trygonometryczne tych funkcji, wraz z ich charakterystyką derywacji i derywacji, służą do definiowania transformaty Fouriera za pomocą następującej złożonej funkcji:

Jest to prawdą, o ile wyrażenie ma sens, to znaczy gdy niepoprawna całka jest zbieżna. Mówi się algebraicznie, że transformata Fouriera jest homeomorfizmem liniowym.

Każda funkcja, która może pracować z transformatą Fouriera, musi mieć zerowość poza zdefiniowanym parametrem.

Właściwości

Transformata Fouriera spełnia następujące właściwości:

Istnienie

Aby zweryfikować istnienie transformaty Fouriera w funkcji f (t) zdefiniowanej w liczbach rzeczywistych R, muszą zostać spełnione następujące 2 aksjomaty:

f (t) jest ciągły na kawałki dla wszystkich R
f (t) jest całkowalny w R

Liniowość transformacji Fouriera

Niech M (t) i N (t) będą dowolnymi dwiema funkcjami ze zdefiniowanymi transformatami Fouriera, ze stałymi a i b, dowolnymi.

F [a M (t) + b N (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)

Który jest również oparty na liniowości całki o tej samej nazwie.

Transformata Fouriera pochodnej

Mamy funkcję f, która jest ciągła i całkowalna we wszystkich liczbach rzeczywistych, gdzie:

A pochodna f (f ') jest ciągła i definiowana w kawałkach w całym R

Transformata Fouriera pochodnej jest definiowana przez całkowanie przez części za pomocą następującego wyrażenia:

F [f '(t)] (z) = iz F [f (t)] (z)

W pochodnych wyższego rzędu będzie stosowany w sposób homologiczny, gdzie dla wszystkich n 1 musisz:

F [f n '(t)] (z) = (iz) n F [f (t)] (z)

Różnicowanie transformaty Fouriera

Mamy funkcję f, która jest ciągła i całkowalna we wszystkich liczbach rzeczywistych, gdzie:

i (d / dz) F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)

Transformacja Fouriera tłumaczenia

Dla wszystkiego θ, które należy do zbioru S i T, który należy do zbioru S ', musi:

F [ τ _a θ] = e-iay F [ θ] F [ τ _a T ] = e-iax F [ T]

Z τ działa jako operator translacji na wektorze a.

Tłumaczenie transformaty Fouriera

Dla wszystkiego θ, które należy do zbioru S i T, który należy do zbioru S ', musi:

τ _a F [θ] = F [e-iax . θ] τ _a F [T ] = F [e-iay . T]

Dla wszystkiego, co należy do R

Transformata Fouriera grupy skalowej

Dla wszystkich θ, które należą do zestawu S. T, który należy do zbioru S '

λ należący do R - {0} musisz:

F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] ( y / λ )

F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / λ )

Jeśli f jest ciągłą i wyraźnie całkowitą funkcją, gdzie a> 0. Następnie:

F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)

Aby zademonstrować ten wynik, możesz przejść do zmiany zmiennej.

Gdy T → + następnie s = przy → + ∞

Gdy T → - następnie s = w → - ∞

Symetria

Aby zbadać symetrię transformacji Fouriera, należy zweryfikować tożsamość Parsevala i wzór Plancherela.

Mamy θ i δ, które należą do S. Stąd można wywnioskować, że:

Otrzymywanie

1 / (2π) d { F [θ ], F [δ ] } Tożsamość Parseval

1 / (2π) d / 2 || F [θ ] || Formuła _L 2 _R d Plancherel

Transformacja Fouriera produktu w splocie

Podążając za podobnymi celami, w transformacie Laplace'a splot funkcji odnosi się do produktu wśród jego transformacji Fouriera.

Mamy f i g jako 2 ograniczone, zdefiniowane iw pełni integrowalne funkcje:

F (f * g) = F (f). F (g)

Następnie podczas zmiany zmiennej

t + s = x; kontynuuje niewłaściwą podwójną całkę

F (f). F (g) = F (f. G)

Ciągłość i upadek w nieskończoności

Dla wszystkiego, co należy do R, F [ θ] spełnia kryteria funkcji ciągłej ograniczonej w Rd.

Również { F [ θ] (y)} → 0 w C, jeśli | y | → ∞

Historia

Ta koncepcja matematyczna została przedstawiona przez Josepha B. Fouriera w 1811 r. Podczas opracowywania traktatu o propagacji ciepła. Został szybko przyjęty przez różne dziedziny nauki i inżynierii.

Został on ustanowiony jako główne narzędzie pracy w badaniu równań różniczkowych cząstkowych, nawet porównując je ze stosunkiem roboczym między transformatą Laplace'a a równaniami różniczkowymi zwyczajnymi.

Do czego służy transformacja Fouriera?

Służy głównie do znacznego uproszczenia równań, podczas przekształcania wyrażeń pochodnych w elementy mocy, które oznaczają wyrażenia różnicowe w postaci całkowalnych wielomianów.

W optymalizacji modulacja i modelowanie wyników działa jak standaryzowane wyrażenie, będące częstym źródłem inżynierii po kilku pokoleniach.

Seria Fouriera

Są one szeregowo zdefiniowane w kategoriach kosinusów i piersi; służą ułatwieniu pracy z ogólnymi funkcjami okresowymi. Po zastosowaniu są one częścią technik rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych i zwykłych.

Szeregi Fouriera są nawet bardziej ogólne niż szereg Taylora, ponieważ rozwijają okresowe funkcje nieciągłe, które nie mają reprezentacji w szeregu Taylora.

Inne formy serii Fouriera

Aby analitycznie zrozumieć transformację Fouriera, ważne jest przejrzenie innych form, w których można znaleźć szereg Fouriera, dopóki nie będziemy mogli zdefiniować szeregu Fouriera w jego złożonej notacji.

- Szereg Fouriera dla funkcji okresu 2L

Wielokrotnie konieczne jest dostosowanie struktury szeregu Fouriera do funkcji okresowych, których okres wynosi p = 2L> 0 w przedziale [-L, L].

- Szereg Fouriera w funkcjach nieparzystych i parzystych

Rozważany jest przedział [-π, π], który oferuje zalety przy korzystaniu z symetrycznych charakterystyk funkcji.

Jeśli f jest równe, szereg Fouriera jest ustalany jako szereg Cosinusów.

Jeśli f jest nieparzyste, szereg Fouriera jest ustalany jako szereg sinusów.

-Kompletna notacja szeregu Fouriera

Jeśli mamy funkcję f (t), która spełnia wszystkie wymagania dla rozwoju szeregu Fouriera, możliwe jest oznaczenie jej w przedziale [-t, t] za pomocą złożonego zapisu:

Aplikacje

Obliczanie podstawowego rozwiązania

Transformata Fouriera jest potężnym narzędziem w badaniu równań różniczkowych cząstkowych typu liniowego ze stałymi współczynnikami. Dotyczą one jednakowo funkcji z domenami nieograniczonymi.

Podobnie jak transformata Laplace'a, transformata Fouriera przekształca funkcję częściowej pochodnej w równanie różniczkowe zwyczajne, które jest znacznie prostsze w obsłudze.

Problem Cauchy'ego dla równania ciepła przedstawia częste pole zastosowania transformaty Fouriera, w którym generowana jest funkcja ciepła rdzenia lub rdzeń Dirichleta.

W odniesieniu do obliczenia podstawowego rozwiązania przedstawiono następujące przypadki, w których często występuje transformacja Fouriera:

- Równanie Laplace'a

- Równanie ciepła

- Równość Schrödingera

- Równanie fal

Teoria sygnału

Ogólny powód zastosowania transformaty Fouriera w tej gałęzi wynika głównie z charakterystycznej dekompozycji sygnału jako nieskończonej superpozycji sygnałów łatwiejszych do leczenia.

Może to być fala dźwiękowa lub fala elektromagnetyczna, transformata Fouriera wyraża ją w superpozycji prostych fal. Ta reprezentacja jest dość częsta w elektrotechnice.

Z drugiej strony istnieją przykłady zastosowania transformaty Fouriera w dziedzinie teorii sygnału:

-Problemy identyfikacji systemu. Ustalony fyg

-Problem z konsekwencją sygnału wyjściowego

-Problemy z filtrowaniem sygnału