Twierdzenie Greena, demonstracja, zastosowania i rozwiązane ćwiczenia

Twierdzenie Greena jest metodą obliczeniową stosowaną do powiązania całek linii z całkami podwójnymi lub powierzchniowymi. Zaangażowane funkcje muszą być oznaczone jako pola wektorowe i zdefiniowane w trajektorii C.

Na przykład wyrażenie całkowe linii może być bardzo skomplikowane do rozwiązania; jednak, stosując twierdzenie Greena, całki podwójne stają się dość podstawowe. Zawsze ważne jest przestrzeganie pozytywnego kierunku trajektorii, odnosi się to do kierunku przeciwnego do ruchu wskazówek zegara.

Twierdzenie Greena jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Stokesa, w którym rzut funkcji wektorowej jest wykonywany w płaszczyźnie xy.

Definicja

Wyrażenie twierdzenia Greena jest następujące:

W pierwszym terminie obserwuje się całkę liniową zdefiniowaną przez ścieżkę „C” iloczynu skalarnego między funkcją wektorową „F” i funkcją wektora „r”.

C: Jest to zdefiniowana ścieżka, po której funkcja wektora będzie wyświetlana tak długo, jak jest zdefiniowana dla tej płaszczyzny.

F: Funkcja wektorowa, gdzie każdy z jej składników jest zdefiniowany przez funkcję jako taką (f, g).

Odp .: Jest to wektor styczny do regionu R, na którym zdefiniowana jest całka. W tym przypadku działamy z różnicą tego wektora.

W drugim zdaniu widzimy rozwinięte twierdzenie Greena, w którym obserwujemy podwójną całkę zdefiniowaną w regionie R różnicy pochodnych cząstkowych gyf, odpowiednio w odniesieniu do ax i y. Dla różnicy powierzchni, która nie jest większa niż iloczyn obu dwuwymiarowych różnic (dx.dy).

Twierdzenie to doskonale nadaje się do całek przestrzeni i powierzchni.

Demonstracja

Aby w prosty sposób zademonstrować twierdzenie Greena, zadanie to zostanie podzielone na 2 części. Najpierw założymy, że funkcja wektorowa F ma tylko definicję na verso i. Podczas gdy funkcja „g” odpowiadająca versorowi j będzie równa zero.

F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0

r = x i + yj

dr = dx i + dy j

Najpierw opracowaliśmy całkę liniową nad trajektorią C, dla której trajektoria została podzielona na dwie części, które biegną najpierw od a do b, a następnie od b do a.

Stosowana jest definicja podstawowego twierdzenia obliczenia dla zdefiniowanej całki.

Wyrażenie jest uporządkowane w pojedynczej całce, staje się powszechnym czynnikiem ujemnym i kolejność czynników jest odwrócona.

Obserwując to wyrażenie w sposób szczegółowy, staje się oczywiste, że stosując kryteria funkcji pierwotnej, znajdujemy się w całce wyrażenia pochodnego f względem y. Oceniane w parametrach

Teraz wystarczy przypuszczać, że funkcja wektorowa F jest zdefiniowana tylko dla g (x, y) j . Gdzie działać w sposób podobny do poprzedniego przypadku, dostajesz:

Aby zakończyć, zrób 2 demonstracje i połącz się w przypadku, gdy funkcja wektorowa przyjmuje wartości dla obu wersji. W ten sposób jest pokazany jako całka linii po zdefiniowaniu i uznaniu za jednowymiarową trajektorię, może być rozwinięty całkowicie dla płaszczyzny i przestrzeni.

F = f (x, y) i + g (x, y) j

W ten sposób udowodniono twierdzenie Greena.

Aplikacje

Zastosowania twierdzenia Greena są rozległe w gałęziach fizyki i matematyki. Obejmują one dowolną aplikację lub zastosowanie, które można przypisać integracji linii.

Praca mechaniczna wykonywana przez siłę F przez trajektorię C może być rozwinięta przez całkę liniową, która jest wyrażona jako podwójna całka obszaru za pomocą twierdzenia Greena.

Momenty bezwładności wielu ciał poddanych siłom zewnętrznym w różnych punktach zastosowania odpowiadają również całkom linii, które można opracować za pomocą twierdzenia Greena.

Ma to wiele funkcji w badaniach oporu stosowanych materiałów. Tam, gdzie wartości zewnętrzne można określić ilościowo i wziąć pod uwagę przed opracowaniem różnych elementów.

Ogólnie rzecz biorąc, twierdzenie Greena ułatwia zrozumienie i zdefiniowanie obszarów, w których funkcje wektorowe są zdefiniowane w odniesieniu do regionu zgodnie z trajektorią.

Historia

Został opublikowany w 1828 roku w pracy Analiza matematyczna do teorii elektryczności i magnetyzmu, napisanej przez brytyjskiego matematyka George'a Greena. Bada on dość determinujące sekcje w stosowaniu rachunku różniczkowego w fizyce, takie jak koncepcja funkcji potencjalnych, funkcje Greena i zastosowania jego twierdzenia o tytule.

George Green sformalizował swoją karierę studencką w wieku 40 lat, będąc do tej pory matematykiem w pełni samoukiem. Po studiach na Uniwersytecie Cambridge kontynuował swoje badania, wnosząc wkład w dziedzinie akustyki, optyki i hydrodynamiki, które nadal obowiązują do dziś.

Związek z innymi twierdzeniami

Twierdzenie Greena jest przypadkiem szczególnym i wynika z dwóch innych bardzo ważnych twierdzeń w gałęzi obliczeniowej. Są to twierdzenie Kelvina-Stokesa i twierdzenie o dywergencji lub Gaussa Ostrogradskiego.

Zaczynając od jednego z tych twierdzeń, można dojść do twierdzenia Greena. Niektóre definicje i propozycje są niezbędne do opracowania takich demonstracji.

Ćwiczenia

- Poniższe ćwiczenie pokazuje, jak przekształcić całkę linii w podwójną całkę względem regionu R.

Oryginalne wyrażenie jest następujące:

Gdzie odpowiednie funkcje są brane pod uwagę

f (x, y) = x3 g (x, y) = yx

df / dy = 0 dg / dx = y

Nie ma unikalnego sposobu definiowania granic integracji podczas stosowania twierdzenia Greena. Ale są sposoby, w których całki po zdefiniowaniu mogą być prostsze. W taki sposób, że optymalizacja granic integracji zasługuje na uwagę.

Gdzie rozwiązać całki otrzymujemy:

Ta wartość odpowiada w jednostkach sześciennych obszarowi poniżej funkcji wektorowej i trójkątnemu obszarowi zdefiniowanemu przez C.

W przypadku całki liniowej bez wykonania metody Zielonej konieczne byłoby sparametryzowanie funkcji w każdej sekcji regionu. Oznacza to wykonanie 3 sparametryzowanych całek dla rozdzielczości. Jest to wystarczający dowód skuteczności, jaką Robert Green przyniósł ze swoim twierdzeniem do rachunku różniczkowego.