Twierdzenie Varignona: przykłady i rozwiązane ćwiczenia
Twierdzenie Varignona stwierdza, że jeśli w jakimkolwiek czworoboku, punkty środkowe boków są połączone w sposób ciągły, generowany jest równoległobok. Twierdzenie to zostało sformułowane przez Pierre'a Varignona i opublikowane w 1731 roku w książce Elements of Mathematics .
Publikacja książki nastąpiła wiele lat po jego śmierci. Ponieważ Varignon był tym, który przedstawił to twierdzenie, równoległobok nazwano jego imieniem. Twierdzenie opiera się na geometrii euklidesowej i przedstawia zależności geometryczne czworokątów.
Jakie jest twierdzenie Varignona?
Varignon twierdził, że figura określona przez punkty środkowe czworokąta zawsze będzie miała równoległobok, a powierzchnia tego pola będzie zawsze równa połowie powierzchni czworoboku, jeśli jest płaska i wypukła. Na przykład:
Na rysunku widzimy czworobok z obszarem X, gdzie punkty środkowe boków są reprezentowane przez E, F, G i H, a gdy są połączone, tworzą równoległobok. Obszar czworoboku będzie sumą obszarów trójkątów, które są uformowane, a połowa tego odpowiada obszarowi równoległoboku.
Ponieważ powierzchnia równoległoboku jest równa połowie powierzchni czworoboku, obwód tego równoległoboku można określić.
Zatem obwód jest równy sumie długości przekątnych czworokąta; jest tak, ponieważ mediany czworoboku będą przekątnymi równoległoboku.
Z drugiej strony, jeśli długości przekątnych czworoboku są dokładnie takie same, równoległobok będzie diamentem. Na przykład:
Z rysunku widać, że łącząc punkty środkowe boków czworoboku uzyskuje się romb. Z drugiej strony, jeśli przekątne czworoboku są prostopadłe, równoległobok będzie prostokątem.
Równoległobok będzie kwadratem, gdy czworokąt ma przekątne o tej samej długości, a także będzie prostopadły.
Twierdzenie jest spełnione nie tylko w płaskich czworokątach, ale jest również realizowane w geometrii przestrzennej lub w dużych wymiarach; to znaczy w tych czworokątach, które nie są wypukłe. Przykładem tego może być ośmiościan, gdzie punkty środkowe to centroidy każdej powierzchni i tworzą równoległościan.
W ten sposób, łącząc punkty środkowe różnych figur, można uzyskać równoległoboki. Prostym sposobem sprawdzenia, czy tak jest naprawdę, jest to, że przeciwległe strony muszą być równoległe, gdy są przedłużone.
Przykłady
Pierwszy przykład
Przedłużenie przeciwległych boków, aby pokazać, że jest to równoległobok:
Drugi przykład
Łącząc punkty środkowe rombu otrzymujemy prostokąt:
Twierdzenie jest używane w połączeniu punktów znajdujących się w środku boków czworokąta, a także może być używane dla innych typów punktów, takich jak trójsekcje, pięcioczęściowe, a nawet nieskończone liczby przekrojów ( nth), w celu podzielenia boków dowolnego czworoboku na segmenty, które są proporcjonalne.
Rozwiązane ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Mamy na rysunku czworobok ABCD obszaru Z, gdzie punkty środkowe boków to PQSR. Sprawdź, czy utworzony jest równoległobok Varignonu.
Rozwiązanie
Można zweryfikować, że podczas łączenia punktów PQSR powstaje równoległobok Varignonu, ponieważ w instrukcji podano punkty środkowe czworokąta.
Aby to wykazać, punkty środkowe PQSR są ze sobą połączone, więc widać, że tworzy się kolejny czworokąt. Aby pokazać, że jest to równoległobok, musimy tylko narysować linię prostą od punktu C do punktu A, więc możemy zobaczyć, że CA jest równoległy do PQ i RS.
Podobnie, rozszerzając strony PQRS można zauważyć, że PQ i RS są równoległe, jak pokazano na poniższym obrazie:
Ćwiczenie 2
Ma prostokąt taki, że długości wszystkich jego boków są równe. Podczas łączenia punktów środkowych tych boków tworzy się romb ABCD, który jest podzielony przez dwa przekątne AC = 7 cm i BD = 10 cm, które pokrywają się z pomiarami boków prostokąta. Określ obszary diamentów i prostokątów.
Rozwiązanie
Pamiętając, że obszar powstałego równoległoboku jest połową czworoboku, można określić obszar tych obszarów, wiedząc, że miara przekątnych pokrywa się z bokami prostokąta. Więc musisz:
AB = D
CD = d
Prostokąt = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2
Diament = prostokąt / 2
Romb = 70 cm2 / 2 = 35 cm2
Ćwiczenie 3
Mamy na rysunku czworobok, który ma połączenie punktów EFGH, podane są długości segmentów. Określ, czy wiązanie EFGH jest równoległobokiem.
AB = 2, 4 CG = 3, 06
EB = 1, 75 GD = 2, 24
BF = 2, 88 DH = 2, 02
FC = 3, 94 HA = 2, 77
Rozwiązanie
Biorąc pod uwagę długości segmentów, można sprawdzić, czy istnieje proporcjonalność między segmentami; to znaczy, możemy wiedzieć, czy są równoległe, odnosząc się do segmentów czworoboku w następujący sposób:
- AE / EB = 2, 4 / 1, 75 = 1, 37
- AH / HD = 2, 77 / 2, 02 = 1, 37
- CF / FB = 3, 94 / 2, 88 = 1, 37
- CG / GD = 3, 06 / 2, 24 = 1, 37
Następnie sprawdzana jest proporcjonalność, ponieważ:
AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD
Podobnie, gdy wykreślamy linię od punktu B do punktu D, widzimy, że EH jest równoległy do BD, tak jak BD jest równoległy do FG. Z drugiej strony, EF jest równoległy do GH.
W ten sposób można ustalić, że EFGH jest równoległobokiem, ponieważ przeciwległe boki są równoległe.
