Logika matematyczna: pochodzenie, jakie badania, typy

Logika matematyczna lub logika symboliczna to język matematyczny, który obejmuje niezbędne narzędzia, za pomocą których można potwierdzić lub zaprzeczyć rozumowaniu matematycznemu.

Powszechnie wiadomo, że w matematyce nie ma żadnych niejasności. Biorąc pod uwagę argument matematyczny, jest to ważne lub po prostu nie jest. Nie może być jednocześnie fałszywy i prawdziwy.

Szczególnym aspektem matematyki jest to, że ma formalny i rygorystyczny język, dzięki któremu można określić ważność rozumowania. Co sprawia, że pewne rozumowanie lub dowód matematyczny są niepodważalne? Na tym polega logika matematyczna.

Logika jest więc dyscypliną matematyki odpowiedzialną za studiowanie rozumowania matematycznego i demonstracji oraz zapewnia narzędzia pozwalające wywnioskować prawidłowy wniosek z poprzednich stwierdzeń lub twierdzeń.

W tym celu wykorzystuje aksjomaty i inne aspekty matematyczne, które zostaną opracowane później.

Pochodzenie i historia

Dokładne daty dotyczące wielu aspektów logiki matematycznej są niepewne. Jednak większość bibliografii na ten temat śledzi pochodzenie tego starożytnej Grecji.

Arystoteles

Początek rygorystycznego traktowania logiki przypisuje się po części Arystotelesowi, który napisał zbiór dzieł logicznych, które później były zbierane i rozwijane przez różnych filozofów i naukowców, aż do średniowiecza. Można to uznać za „starą logikę”.

Następnie, w tak zwanym Wieku Współczesnym, Leibniz, poruszony głębokim pragnieniem ustanowienia uniwersalnego języka do rozumowania matematycznego, oraz inni matematycy, tacy jak Gottlob Frege i Giuseppe Peano, w znacznym stopniu wpłynęli na rozwój logiki matematycznej z wielkim wkładem wśród nich aksjomaty Peano, które formułują niezbędne właściwości liczb naturalnych.

W tym czasie wpływ mieli także matematycy George Boole i Georg Cantor, z ważnym wkładem w teorię zbiorów i tabele prawdy, podkreślając między innymi algebrę boolowską (autorstwa George'a Boole'a) i aksjomat wyboru (autor: George Cantor)

Jest też Augustus De Morgan z dobrze znanymi prawami Morgana, które kontemplują zaprzeczenia, spójniki, dysjunkcje i uwarunkowania między twierdzeniami, kluczami do rozwoju symbolicznej logiki i Jana Venna ze słynnymi diagramami Venna.

W dwudziestym wieku, mniej więcej w latach 1910–1913, wyróżnij Bertranda Russella i Alfreda Northa Whiteheada, publikując Principia mathematica, zbiór książek, które gromadzą, opracowują i postulują serię aksjomatów i wyników logicznych.

Co studiuje logika matematyczna?

Propozycje

Logika matematyczna zaczyna się od badania zdań. Twierdzenie jest twierdzeniem, które można powiedzieć bez dwuznaczności, jeśli jest prawdziwe lub nie. Oto przykłady propozycji:

2 + 4 = 6.
52 = 35.
W roku 1930 miało miejsce trzęsienie ziemi w Europie.

Pierwszy jest prawdziwym twierdzeniem, a drugi fałszywym twierdzeniem. Trzecia, nawet jeśli jest możliwe, że osoba, która ją czyta, nie wie, czy jest ona prawdziwa czy natychmiastowa, jest stwierdzeniem, które można zweryfikować i ustalić, czy rzeczywiście tak się stało, czy nie.

Oto przykłady wyrażeń, które nie są propozycjami:

Ona jest blondynką.
2x = 6
Zagrajmy!
Czy lubisz filmy?

W pierwszym zdaniu nie określono, kto jest „ona”, dlatego nie można niczego potwierdzić. W drugim zdaniu to, co jest reprezentowane przez „x”, nie zostało określone. Jeśli zamiast tego powiedziano, że 2x = 6 dla pewnej liczby naturalnej x, w tym przypadku odpowiadałoby to twierdzeniu, w rzeczywistości jest prawdziwe, ponieważ dla x = 3 jest spełnione.

Ostatnie dwa stwierdzenia nie odpowiadają twierdzeniu, ponieważ nie ma sposobu, aby je zaprzeczyć lub potwierdzić.

Dwie lub więcej propozycji można łączyć (lub łączyć) za pomocą znanych łączników łączących (lub łączników). Są to:

Zaprzeczenie: „Nie pada”.
Rozłączenie: „Luisa kupiła białą lub szarą torbę”.
Koniunkcja: „42 = 16 i 2 × 5 = 10”.
Warunkowo: „Jeśli pada deszcz, to nie idę na siłownię dziś po południu”.
Dwubiegunowy: „Idę dziś na siłownię, jeśli i tylko wtedy, gdy nie pada”.

Twierdzenie, które nie posiada żadnego z poprzednich łączników, nazywane jest twierdzeniem prostym (lub atomowym). Na przykład „2 to mniej niż 4” jest prostą propozycją. Zdania, które mają jakąś łączność, nazywane są zdaniami złożonymi, jak na przykład „1 + 3 = 4 i 4 to liczba parzysta”.

Stwierdzenia składane za pomocą zdań są zazwyczaj długie, więc pisanie ich zawsze jest żmudne, jak widzieliśmy do tej pory. Z tego powodu używany jest język symboliczny. Zdania są zwykle reprezentowane przez wielkie litery, takie jak P, Q, R, S itd. I symboliczne połączenie w następujący sposób:

Więc to

Odwrotność propozycji warunkowej

to propozycja

I contrapositive (lub contrapositive) propozycji

to propozycja

Tabele prawdy

Inną ważną koncepcją logiki są tabele prawdy. Wartości prawdy twierdzenia są dwiema możliwościami dla twierdzenia: prawda (która zostanie oznaczona przez V i powiemy, że jej wartość prawdy to V) lub fałsz (która zostanie oznaczona przez F i zostanie powiedziane, że jej wartość tak naprawdę jest F).

Wartość prawdy twierdzenia złożonego zależy wyłącznie od wartości prawdy prostych twierdzeń, które się w nim pojawiają.

Aby pracować bardziej ogólnie, nie będziemy rozważać konkretnych zdań, ale zmiennych propozycyjnych p, q, r, s itd., Które będą reprezentować dowolne zdania.

W przypadku tych zmiennych i łączników logicznych dobrze znane formuły zdaniowe są tworzone tak, jak konstruowane są zdania złożone.

Jeśli każda ze zmiennych pojawiających się w formule zdaniowej jest zastąpiona twierdzeniem, uzyskuje się propozycję złożoną.

Poniżej znajdują się tabele prawdy dla logicznych łączników:

Istnieją formuły zdaniowe, które otrzymują tylko wartość V w swojej tabeli prawdy, czyli ostatnia kolumna ich tabeli prawdy ma tylko wartość V. Ten typ formuł jest znany jako tautologie. Na przykład:

Poniżej znajduje się tabela prawdy wzoru

Mówi się, że formuła α logicznie implikuje inny wzór β, jeśli α jest prawdziwe za każdym razem, gdy β jest prawdziwe. Oznacza to, że w tabeli prawdy α i β wiersze, w których α ma V, β, również mają wartość V. Interesujące są tylko wiersze, w których α ma wartość V. Notacja dla implikacji logicznej jest następująca :

Poniższa tabela podsumowuje właściwości implikacji logicznej:

Mówi się, że dwie formuły zdaniowe są logicznie równoważne, jeśli ich tabele prawdy są identyczne. Następująca notacja jest używana do wyrażenia logicznej równoważności:

Poniższe tabele podsumowują właściwości równoważności logicznej:

Rodzaje logiki matematycznej

Istnieją różne rodzaje logiki, zwłaszcza jeśli wziąć pod uwagę pragmatyczną lub nieformalną logikę, która wskazuje na filozofię, między innymi.

Jeśli chodzi o matematykę, rodzaje logiki można podsumować w następujący sposób:

Formalna lub arystotelesowska logika (starożytna logika).
Logika zdaniowa: odpowiada za badanie wszystkiego, co jest związane z zasadnością argumentów i twierdzeń, używając języka formalnego, a także symbolicznego.
Logika symboliczna: koncentruje się na badaniu zbiorów i ich właściwości, także w języku formalnym i symbolicznym, i jest głęboko związana z logiką zdaniową.
Logika kombinatoryczna: jedna z ostatnio opracowanych obejmuje wyniki, które można opracować za pomocą algorytmów.
Programowanie logiczne: używane w różnych pakietach i językach programowania.

Obszary

Wśród dziedzin, które wykorzystują logikę matematyczną w niezastąpiony sposób w rozwoju ich rozumowania i argumentacji, podkreślają filozofię, teorię zbiorów, teorię liczb, konstruktywną matematykę algebraiczną i języki programowania.