Matematyka dyskretna: co służą, teoria zbiorów

Dyskretna matematyka odpowiada obszarowi matematyki odpowiedzialnemu za badanie zbioru liczb naturalnych; to znaczy zbiór skończonych i nieskończonych liczb policzalnych, w których elementy można liczyć osobno, jeden po drugim.

Zestawy te są znane jako zestawy dyskretne; Przykładem tych zbiorów są liczby całkowite, wykresy lub wyrażenia logiczne i są one stosowane w różnych dziedzinach nauki, głównie w informatyce lub informatyce.

Opis

W dyskretnych procesach matematycznych można policzyć na podstawie liczb całkowitych. Oznacza to, że liczby dziesiętne nie są używane, a zatem przybliżenie lub ograniczenia nie są używane, jak w innych obszarach. Na przykład jeden nieznany może być równy 5 lub 6, ale nigdy 4, 99 lub 5, 9.

Z drugiej strony, w graficznej reprezentacji zmienne będą dyskretne i są podawane ze skończonego zbioru punktów, które są liczone jeden po drugim, jak widać na obrazku:

Dyskretna matematyka rodzi się z potrzeby uzyskania dokładnego badania, które można połączyć i przetestować, aby zastosować je w różnych obszarach.

Jakie jest zastosowanie matematyki dyskretnej?

Matematyka dyskretna jest używana w wielu obszarach. Do głównych należą:

Kombinatoryczny

Zbadaj skończone zbiory, w których elementy można uporządkować lub połączyć i policzyć.

Teoria rozkładu dyskretnego

Zbadaj zdarzenia występujące w przestrzeniach, w których można policzyć próbki, w których rozkłady ciągłe są używane do przybliżenia rozkładów dyskretnych lub w odwrotny sposób.

Teoria informacji

Odnosi się do kodowania informacji wykorzystywanych do projektowania i transmisji oraz przechowywania danych, takich jak na przykład sygnały analogowe.

IT

Dzięki dyskretnym rozwiązaniom matematycznym problemy rozwiązuje się za pomocą algorytmów, a także bada się, co można obliczyć i jak to zrobić (złożoność).

Znaczenie dyskretnej matematyki w tym obszarze wzrosło w ostatnich dziesięcioleciach, zwłaszcza w zakresie rozwoju języków programowania i oprogramowania .

Kryptografia

Opiera się na dyskretnej matematyce do tworzenia struktur bezpieczeństwa lub metod szyfrowania. Przykładem tej aplikacji są hasła, wysyłające oddzielnie bity zawierające informacje.

Dzięki badaniu właściwości liczb całkowitych i liczb pierwszych (teoria liczb) mogą tworzyć lub niszczyć te metody bezpieczeństwa.

Logika

Stosowane są struktury dyskretne, które zwykle tworzą skończony zbiór, aby udowodnić twierdzenia lub, na przykład, zweryfikować oprogramowanie.

Teoria wykresów

Umożliwia rozwiązywanie problemów logicznych za pomocą węzłów i linii tworzących typ wykresu, jak pokazano na poniższym obrazie:

Jest to obszar ściśle powiązany z matematyką dyskretną, ponieważ wyrażenia algebraiczne są dyskretne. Dzięki temu opracowywane są obwody elektroniczne, procesory, programowanie (algebra Boole'a) i bazy danych (algebra relacyjna).

Geometria

Zbadaj kombinatoryczne właściwości obiektów geometrycznych, takich jak powłoka płaszczyzny. Z drugiej strony geometria obliczeniowa umożliwia opracowanie problemów geometrycznych poprzez zastosowanie algorytmów.

Teoria zbiorów

W dyskretnych zestawach matematyki (skończone i nieskończone numeryczne) głównym celem badania. Teorię zbiorów opublikował George Cantor, który wykazał, że wszystkie nieskończone zbiory mają ten sam rozmiar.

Zestaw to grupa elementów (liczb, rzeczy, zwierząt i ludzi, między innymi), które są dobrze zdefiniowane; to znaczy istnieje relacja, zgodnie z którą każdy element należy do zbioru i jest wyrażana na przykład w to A.

W matematyce istnieją różne zestawy, które grupują pewne liczby według ich cech. Na przykład masz:

- Zestaw liczb naturalnych N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞}.

- Zestaw liczb całkowitych E = {-∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞}.

- Podzbiór liczb wymiernych Q * = {-∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞}.

- Zestaw liczb rzeczywistych R = {-∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞}.

Zestawy są nazywane literami alfabetu, pisane wielką literą; natomiast elementy są nazywane małymi literami, wewnątrz nawiasów klamrowych ({}) i oddzielone przecinkami (, ). Są one zwykle przedstawiane na diagramach, takich jak Venn i Caroll, a także obliczeniowo.

W przypadku podstawowych operacji, takich jak połączenie, przecięcie, uzupełnienie, różnica i produkt kartezjański, zbiory i ich elementy są zarządzane w oparciu o relację przynależności.

Istnieje kilka rodzajów zestawów, z których najbardziej studiowano w dyskretnej matematyce:

Skończony zestaw

Jest to taka, która ma skończoną liczbę elementów i odpowiada naturalnej liczbie. Tak więc na przykład A = {1, 2, 3, 4} jest skończonym zbiorem, który ma 4 elementy.

Nieskończony zestaw księgowy

Jest to ta, w której istnieje zgodność między elementami zbioru a liczbami naturalnymi; to znaczy, że z elementu wszystkie elementy zestawu mogą być wymienione kolejno.

W ten sposób każdy element będzie odpowiadał każdemu elementowi zbioru liczb naturalnych. Na przykład:

Zbiór liczb całkowitych Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...} może być wymieniony jako Z = {0, 1, -1, 2, -2 ...}. W ten sposób możliwe jest nawiązanie relacji jeden-do-jednego między elementami Z i liczbami naturalnymi, jak pokazano na poniższym obrazku:

Jest to metoda stosowana do rozwiązywania ciągłych problemów (modeli i równań), które muszą być przekształcone w dyskretne problemy, w których rozwiązanie jest znane z przybliżeniem rozwiązania problemu ciągłego.

W inny sposób dyskretyzacja próbuje wyodrębnić skończoną ilość z nieskończonego zbioru punktów; w ten sposób jednostka ciągła jest przekształcana w pojedyncze jednostki.

Zasadniczo ta metoda jest wykorzystywana w analizie numerycznej, na przykład w rozwiązywaniu równania różniczkowego, za pomocą funkcji, która jest reprezentowana przez skończoną ilość danych w swojej domenie, nawet gdy jest ciągła.

Innym przykładem dyskretyzacji jest wykorzystanie do konwersji sygnału analogowego na cyfrowy, gdy ciągłe jednostki sygnału są konwertowane na pojedyncze jednostki (są dyskretne), a następnie kodowane i kwantowane w celu uzyskania sygnału cyfrowego.