Prawa Morgana

Oczy Morgana są regułami wnioskowania stosowanymi w logice zdaniowej, które ustalają, co jest wynikiem zaprzeczenia dysjunkcji i koniunkcji zdań lub zmiennych zdań. Prawa te zostały zdefiniowane przez matematyka Augustusa De Morgana.

Prawa Morgana stanowią bardzo przydatne narzędzie do wykazania słuszności rozumowania matematycznego. Później zostały uogólnione w ramach koncepcji zbiorów przez matematyka George'a Boole'a.

To uogólnienie dokonane przez Boole'a jest całkowicie równoważne z początkowymi prawami Morgana, ale zostało opracowane specjalnie dla zbiorów, a nie dla propozycji. To uogólnienie jest również znane jako prawa Morgana.

Przegląd logiki zdaniowej

Zanim przyjrzymy się konkretnie prawom Morgana i sposobom ich użycia, wygodnie jest pamiętać pewne podstawowe pojęcia logiki zdaniowej. (Aby uzyskać więcej informacji, zobacz artykuł na temat logiki zdaniowej).

W dziedzinie logiki matematycznej (lub propozycyjnej) wnioskowanie jest wnioskiem wyemitowanym z zestawu przesłanek lub hipotez. Wniosek ten, wraz z wyżej wymienionymi przesłankami, rodzi tak zwane rozumowanie matematyczne.

To rozumowanie musi być możliwe do wykazania lub zaprzeczenia; to znaczy, że nie wszystkie wnioski lub wnioski w rozumowaniu matematycznym są ważne.

Fallacy

Fałszywy wniosek wynikający z pewnych założeń, które uważa się za prawdziwe, jest znany jako błąd. Fałszywe błędy mają charakter argumentów, które wydają się poprawne, ale matematycznie ich nie ma.

Logika zdaniowa jest odpowiedzialna za precyzyjne opracowywanie i dostarczanie metod, za pomocą których można, bez niejasności, potwierdzać lub odrzucać matematyczne rozumowanie; to znaczy wywnioskować prawidłowy wniosek z przesłanek. Metody te są znane jako reguły wnioskowania, których częścią są prawa Morgana.

Propozycje

Podstawowe elementy logiki zdaniowej są twierdzeniami. Zdania są stwierdzeniami, o których można powiedzieć, czy są ważne, czy nie, ale jednocześnie nie mogą być prawdziwe ani fałszywe. W tej sprawie nie powinno być dwuznaczności.

Tak jak liczby można łączyć poprzez operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, zdania można obsługiwać za pomocą znanego logicznego połączenia (lub łączników): negacja (, „nie”), rozłączenie (V, „O”), koniunkcja (Ʌ, „i”), warunkowa (→, „jeśli ..., a następnie ...”) i dwustanowa (↔, „tak i tylko wtedy”).

Aby pracować bardziej ogólnie, zamiast rozważać konkretne zdania, rozważamy zmienne propozycyjne, które reprezentują dowolne zdania, i są zwykle oznaczane małymi literami p, q, r, s itd.

Formuła zdaniowa jest kombinacją zmiennych zdaniowych za pośrednictwem części łącznika logicznego. Innymi słowy, jest to kompozycja zmiennych zdaniowych. Zazwyczaj są one oznaczone greckimi literami.

Mówi się, że formuła zdaniowa logicznie implikuje inną, gdy ta ostatnia jest prawdziwa za każdym razem, gdy pierwsza jest prawdziwa. Jest to oznaczone przez:

Gdy logiczna implikacja między dwoma formułami zdaniowymi jest odwrotna - to znaczy, gdy poprzednia implikacja jest ważna również w przeciwnym kierunku - formuły są uważane za logicznie równoważne i są oznaczone przez

Równoważność logiczna jest rodzajem równości między formułami zdaniowymi i pozwala na zastąpienie innej, jeśli jest to konieczne.

Prawa Morgana

Prawa Morgana składają się z dwóch logicznych ekwiwalencji między dwiema formami zdaniowymi, a mianowicie:

Prawa te pozwalają oddzielić negację dysjunkcji lub koniunkcji, jako negacje zmiennych.

Pierwsze można odczytać w następujący sposób: negacja dysjunkcji jest równa koniunkcji negacji. A drugi brzmi tak: negacja koniunkcji jest rozłączeniem negacji.

Innymi słowy, zaprzeczenie rozłączeniu dwóch zmiennych zdań jest równoważne koniunkcji negacji obu zmiennych. Podobnie zaprzeczenie koniunkcji dwóch zmiennych zdaniowych jest równoważne rozłączeniu negacji obu zmiennych.

Jak wspomniano wcześniej, zastąpienie tej logicznej równoważności pomaga wykazać ważne wyniki, wraz z innymi istniejącymi regułami wnioskowania. Dzięki nim możesz uprościć wiele formuł zdaniowych, aby były bardziej przydatne do pracy.

Poniżej znajduje się przykład matematycznego dowodu wykorzystującego reguły wnioskowania, wśród tych praw Morgana. W szczególności pokazano, że wzór:

jest równoważny z:

Ta ostatnia jest łatwiejsza do zrozumienia i rozwoju.

Demonstracja

Warto wspomnieć, że ważność praw Morgana można wykazać matematycznie. Jednym ze sposobów jest porównanie twoich tabel prawdy.

Zestawy

Te same zasady wnioskowania i pojęcia logiki zastosowane do zdań można również opracować z uwzględnieniem zbiorów. To jest tak zwana algebra Boole'a, po matematyku George'u Boole.

Aby rozróżnić przypadki, konieczna jest zmiana notacji i przeniesienie na zestawy, wszystkie pojęcia już widziane w logice zdaniowej.

Zestaw to zbiór obiektów. Zestawy są oznaczone dużymi literami A, B, C, X, ... a elementy zestawu są oznaczone małymi literami a, b, c, x itd. Gdy element a należy do zbioru X, jest oznaczany przez:

Jeśli nie należy do X, notacja to:

Sposób reprezentacji zestawów polega na umieszczeniu ich elementów w kluczach. Na przykład zbiór liczb naturalnych jest reprezentowany przez:

Zestawy mogą być również reprezentowane bez pisania wyraźnej listy ich elementów. Mogą być wyrażone w formie {:}. Dwa punkty są odczytywane „tak, że”. Zmienna reprezentująca elementy zestawu jest umieszczana po lewej stronie dwóch punktów, a właściwość lub warunek, który spełniają, jest umieszczany po prawej stronie. To jest:

Na przykład zbiór liczb całkowitych większych niż -4 można wyrazić jako:

Lub ekwiwalentnie i bardziej skrótowo, jako:

Podobnie następujące wyrażenia reprezentują odpowiednio zbiory liczb parzystych i nieparzystych:

Unia, skrzyżowanie i uzupełnienia zestawów

Następnie zobaczymy analogi łącznika logicznego w przypadku zbiorów, które są częścią podstawowych operacji między zestawami.

Unia i skrzyżowanie

Połączenie i przecięcie zbiorów są zdefiniowane odpowiednio w następujący sposób:

Na przykład rozważmy zestawy:

Następnie musisz:

Uzupełnienie

Uzupełnienie zbioru tworzą elementy, które nie należą do tego zestawu (tego samego typu, który reprezentuje oryginał). Uzupełnienie zbioru A jest oznaczone przez:

Na przykład, w ramach liczb naturalnych, dopełnieniem zestawu liczb parzystych jest liczba liczb nieparzystych i odwrotnie.

Aby określić dopełnienie zestawu, musi być jasne od początku uniwersalny lub główny zestaw rozważanych elementów. Na przykład nie jest równe rozważenie uzupełnienia zbioru liczb naturalnych na racjonalnych.

Poniższa tabela pokazuje relację lub analogię istniejącą między operacjami na wcześniej zdefiniowanych zestawach a operacjami łącznymi logiki zdaniowej: