Liniowa interpolacja: metoda, rozwiązane ćwiczenia
Interpolacja liniowa jest metodą, która wywodzi się z ogólnej interpolacji Newtona i pozwala określić przez przybliżenie nieznaną wartość między dwiema podanymi liczbami; to znaczy istnieje wartość pośrednia. Stosuje się go również do funkcji przybliżonych, gdzie znane są wartości f (a) i f (b) i chcemy znać półprodukt f (x) .
Istnieją różne typy interpolacji, takie jak liniowe, kwadratowe, sześcienne i wyższe, najprostszym jest przybliżenie liniowe. Cena, którą należy zapłacić za pomocą interpolacji liniowej, polega na tym, że wynik nie będzie tak dokładny, jak przy przybliżeniach za pomocą funkcji wyższych stopni.
Definicja
Interpolacja liniowa to proces, który pozwala wywnioskować wartość między dwiema dobrze zdefiniowanymi wartościami, które mogą być w tabeli lub na wykresie liniowym.
Na przykład, jeśli wiesz, że 3 litry mleka są warte 4 USD, a 5 litrów jest warte 7 USD, ale chcesz wiedzieć, jaka jest wartość 4 litrów mleka, interpoluj, aby określić tę wartość pośrednią.
Metoda
Aby oszacować pośrednią wartość funkcji, funkcja f (x) jest aproksymowana przez linię r (x), co oznacza, że funkcja zmienia się liniowo z „x” dla rozciągnięcia „x = a” i „x = b »; to znaczy, dla wartości „x” w przedziale (x 0, x 1 ) y (y 0, y 1 ), wartość „y” jest podawana przez linię między punktami i wyrażana jest następującą relacją:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Aby interpolacja była liniowa, konieczne jest, aby wielomian interpolacji był stopnia pierwszego (n = 1), tak aby dopasował się do wartości x 0 i x 1.
Interpolacja liniowa opiera się na podobieństwie trójkątów, w taki sposób, że wyprowadzając geometrycznie z poprzedniego wyrażenia, możemy uzyskać wartość „y”, która reprezentuje nieznaną wartość dla „x”.
W ten sposób musisz:
a = tan Ɵ = (strona przeciwna 1 ÷ strona sąsiadująca 1 ) = (strona przeciwna 2 ÷ strona sąsiadująca 2 )
Wyrażone w inny sposób:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Usuwając „i” wyrażeń, masz:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
W ten sposób otrzymujemy ogólne równanie interpolacji liniowej:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Zasadniczo interpolacja liniowa daje niewielki błąd w stosunku do rzeczywistej wartości funkcji true, chociaż błąd jest minimalny w porównaniu do sytuacji, w której intuicyjnie wybierzesz liczbę zbliżoną do liczby, którą chcesz znaleźć.
Ten błąd występuje podczas próby przybliżenia wartości krzywej linią prostą; w tych przypadkach należy zmniejszyć rozmiar interwału, aby podejście było bardziej precyzyjne.
Aby uzyskać lepsze wyniki w odniesieniu do podejścia, zaleca się użycie funkcji klasy 2, 3 lub nawet wyższej do wykonania interpolacji. W tych przypadkach twierdzenie Taylora jest bardzo przydatnym narzędziem.
Rozwiązane ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Liczbę bakterii na jednostkę objętości występującą w inkubacji po x godzinach przedstawiono w poniższej tabeli. Chcesz wiedzieć, jaka jest objętość bakterii przez 3, 5 godziny.
Rozwiązanie
Tabela referencyjna nie określa wartości, która wskazuje ilość bakterii przez czas 3, 5 godziny, ale ma coraz wyższe wartości odpowiadające odpowiednio czasowi 3 i 4 godzin. W ten sposób:
x 0 = 3 i 0 = 91
x = 3, 5 y =?
x 1 = 4 i 1 = 135
Teraz stosuje się równanie matematyczne, aby znaleźć wartość interpolowaną, która jest następująca:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )].
Następnie zastępowane są odpowiednie wartości:
y = 91 + (135 - 91) * [(3, 5 - 3) ÷ (4 - 3)]
y = 91 + (44) * [(0, 5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0, 5
y = 113
W ten sposób uzyskuje się, że przez czas 3, 5 godziny ilość bakterii wynosi 113, co stanowi poziom pośredni między objętością bakterii istniejących w czasie 3 i 4 godzin.
Ćwiczenie 2
Luis ma fabrykę lodów i chce zrobić badanie, aby ustalić, jakie dochody osiągnął w sierpniu z poniesionych wydatków. Menedżer firmy tworzy wykres, który wyraża tę relację, ale Luis chce wiedzieć:
Jakie są dochody w sierpniu, jeśli wydano 55 000 USD?
Rozwiązanie
Wykres przedstawia wartości dochodów i wydatków. Luis chce wiedzieć, jaki jest sierpniowy dochód, jeśli fabryka ma wydatek 55 000 USD. Ta wartość nie jest odzwierciedlona bezpośrednio na wykresie, ale dostępne są wyższe i niższe wartości.
Najpierw tworzona jest tabela, z której można łatwo powiązać wartości:
Teraz formuła interpolacji jest używana do określenia wartości y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Następnie zastępowane są odpowiednie wartości:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) * [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]
y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]
y = 56 000 + (22 000) * (0, 588)
y = 56 000 + 12 936
y = 68, 936 USD.
Jeśli w sierpniu wydano 55 000 USD, dochód wyniósł 68 936 USD.
