System ósemkowy: historia, system numeracji i konwersje

System ósemkowy jest systemem numeracji pozycyjnej podstawy ósmej (8); to znaczy składa się z ośmiu cyfr, które są: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. Dlatego każda cyfra liczby ósemkowej może mieć dowolną wartość od 0 do 7. Liczby ósemkowe są one utworzone z liczb binarnych.

Dzieje się tak, ponieważ jego podstawa ma dokładną moc dwóch (2). Oznacza to, że liczby należące do systemu ósemkowego są tworzone, gdy są pogrupowane w trzy kolejne cyfry, ułożone od prawej do lewej, uzyskując w ten sposób ich wartość dziesiętną.

Historia

System ósemkowy ma swój początek w starożytności, kiedy ludzie używali rąk do liczenia ośmiu do ośmiu zwierząt.

Na przykład, aby policzyć liczbę krów w stodole, jeden zaczął liczyć na prawą rękę, łącząc kciuk małym palcem; następnie, aby policzyć drugie zwierzę, kciuk połączono palcem wskazującym, i tak dalej, z pozostałymi palcami każdej ręki, aż do ukończenia 8.

Istnieje możliwość, że w czasach starożytnych system numeracji ósemkowej był używany przed dziesiętnym, aby móc policzyć przestrzenie międzypalcowe; to znaczy policz wszystkie palce z wyjątkiem kciuków.

Następnie ustanowiono system numerowania ósemkowego, który pochodzi z systemu binarnego, ponieważ potrzebuje wielu cyfr do reprezentowania tylko jednej liczby; od tego momentu powstały systemy ośmiokątne i heksagonalne, które nie wymagają tak wielu cyfr i można je łatwo przekształcić w system binarny.

System numeracji ósemkowej

System ósemkowy składa się z ośmiu cyfr od 0 do 7. Mają one taką samą wartość jak w przypadku systemu dziesiętnego, ale ich względna wartość zmienia się w zależności od zajmowanej przez nie pozycji. Wartość każdej pozycji jest podana przez moce podstawowe 8.

Pozycje cyfr w liczbie ósemkowej mają następujące wagi:

84, 83, 82, 81, 80, punkt ósemkowy, 8-1, 8-2, 8-3, 8-4, 8-5.

Największa cyfra ósemkowa to 7; w ten sposób, gdy ten system jest zliczany, jednocyfrowa pozycja jest zwiększana z 0 do 7. Gdy osiągnie 7, jest ponownie przetwarzana do 0 dla następnego zliczenia; w ten sposób zwiększa się kolejna pozycja cyfry. Na przykład, aby policzyć sekwencje, w systemie ósemkowym będzie to:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
53, 54, 55, 56, 57, 60.
375, 376, 377, 400.

Istnieje podstawowe twierdzenie, które stosuje się do systemu ósemkowego i wyraża się w następujący sposób:

W tym wyrażeniu di oznacza cyfrę pomnożoną przez moc podstawową 8, która wskazuje wartość pozycyjną każdej cyfry, w taki sam sposób, jak jest uporządkowana w systemie dziesiętnym.

Na przykład masz numer 543.2. Aby przenieść go do systemu ósemkowego, rozkłada się go w następujący sposób:

N = Σ [(5 _* 82) + (4 _* 81) + (3 _* 80) + (2 _* 8-1)] = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + ( 2 * 0, 125)

N = 320 +32 + 2 + 0, 25 = 354 + 0, 25 _d

W ten sposób masz 543, 2 _q = 354, 25 _d . Indeks dolny q wskazuje, że jest to liczba ósemkowa, która może być również reprezentowana przez liczbę 8; a indeks d odnosi się do liczby dziesiętnej, która może być również reprezentowana przez liczbę 10.

Konwersja systemu ósemkowego na dziesiętny

Aby przekonwertować ósemkowy numer systemu na jego odpowiednik w systemie dziesiętnym, wystarczy pomnożyć każdą cyfrę ósemkową przez jej wartość miejsca, zaczynając od prawej.

Przykład 1

732 ₈ = (7 _* 82) + (3 _* 81) + (2 _* 80) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Przykład 2

26, 9 ₈ = (2 _* 81) + (6 _* 80) + (9 _* 8-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0, 125)

26, 9 ₈ = 16 + 6 + 1, 125

26, 9 ₈ = 23 125 ₁₀

Konwersja systemu dziesiętnego na ósemkowy

Dziesiętną liczbę całkowitą można przekonwertować na liczbę ósemkową za pomocą metody wielokrotnego podziału, gdzie dziesiętna liczba całkowita jest dzielona przez 8, aż iloraz będzie równy 0, a reszty każdego podziału będą reprezentować liczbę ósemkową.

Odpady są sortowane od ostatniego do pierwszego; to znaczy pierwsza reszta będzie najmniej znaczącą cyfrą liczby ósemkowej. W ten sposób najbardziej znaczącą cyfrą będzie ostatnia pozostałość.

Przykład

Oktal liczby dziesiętnej 266 ₁₀

- Podziel liczbę dziesiętną 266 między 8 = 266/8 = 33 + resztę 2.

- Wtedy 33 jest dzielone przez 8 = 33/8 = 4 + reszta 1.

- Podziel 4 przez 8 = 4/8 = 0 + pozostałość 4.

Tak jak w ostatnim podziale uzyskuje się iloraz mniejszy niż 1, co oznacza, że wynik został znaleziony; tylko szczątki muszą być uporządkowane w odwrotnej kolejności, tak aby liczba ósemkowa dziesiętnej 266 wynosiła 412, jak widać na poniższym obrazie:

Konwersja systemu ósemkowego na binarny

Konwersja systemu ósemkowego na binarny odbywa się poprzez konwersję cyfry ósemkowej na jej równoważną cyfrę binarną, utworzoną z trzech cyfr. Jest tabela, która pokazuje, jak osiem możliwych cyfr jest konwertowanych:

Z tych konwersji można zmienić dowolną liczbę z systemu ósemkowego na binarny, na przykład w celu konwersji liczby 572, ₈ jej odpowiedniki są wyszukiwane w tabeli. Więc musisz:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Dlatego 572 _{8 jest} równoważny w systemie binarnym do 10111110.

Konwersja systemu binarnego na ósemkowy

Proces konwersji binarnych liczb całkowitych na ósemkowe liczby całkowite jest operacją odwrotną do poprzedniego procesu.

Oznacza to, że bity liczby binarnej są zgrupowane w dwie grupy po trzy bity, zaczynając od prawej do lewej. Następnie następuje konwersja binarna na ósemkową z poprzednią tabelą.

W niektórych przypadkach liczba binarna nie będzie miała grup 3-bitowych; aby go ukończyć, dodaje się jedno lub dwa zera po lewej stronie pierwszej grupy.

Na przykład, aby zmienić liczbę binarną 11010110 na ósemkową, wykonuje się następujące czynności:

- Tworzone są grupy 3 bitów począwszy od prawej (ostatni bit):

11010110

- Ponieważ pierwsza grupa jest niekompletna, po lewej stronie dodaje się zero:

011010110

- Konwersja odbywa się z tabeli:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Zatem liczba binarna 011010110 odpowiada 326 ₈ .

Konwersja systemu ósemkowego na szesnastkowy i odwrotnie

Aby zmienić liczbę ósemkową na szesnastkową lub szesnastkową na ósemkową, konieczne jest, aby liczba została najpierw przekonwertowana na binarną, a następnie na żądany system.

W tym celu znajduje się tabela, w której każda cyfra szesnastkowa jest reprezentowana przez jej równoważność w systemie binarnym, składającym się z czterech cyfr.

W niektórych przypadkach liczba binarna nie będzie miała grup 4-bitowych; aby go ukończyć, dodaj jedno lub dwa zera na lewo od pierwszej grupy