Twierdzenie Bolzano: Wyjaśnienie, zastosowania i rozwiązane ćwiczenia

Twierdzenie Bolzano stwierdza, że ​​jeśli funkcja jest ciągła we wszystkich punktach zamkniętego przedziału [a, b] i jest satysfakcjonujące, że obraz „a” i „b” (pod funkcją) ma przeciwne znaki, to będzie istniał dla co najmniej jeden punkt „c” w przedziale otwartym (a, b), tak że funkcja oceniana w „c” będzie równa 0.

Twierdzenie to zostało wypowiedziane przez filozofa, teologa i matematyka Bernarda Bolzano w 1850 roku. Ten naukowiec, urodzony w dzisiejszej Republice Czeskiej, był jednym z pierwszych matematyków w historii, który dokonał formalnej demonstracji właściwości funkcji ciągłych.

Wyjaśnienie

Twierdzenie Bolzano jest również znane jako twierdzenie o wartościach pośrednich, które pomaga w określeniu określonych wartości, w szczególności zer, niektórych rzeczywistych funkcji zmiennej rzeczywistej.

W danej funkcji f (x) trwa - to znaczy, że f (a) if (b) są połączone krzywą, gdzie f (a) znajduje się poniżej osi x (jest ujemna), a f (b) jest powyżej osi x (jest dodatnia) lub odwrotnie, graficznie będzie punkt cięcia na osi x, który będzie reprezentował wartość pośrednią «c», która będzie między «a» i «b», a wartość f (c) będzie równe 0

Dzięki graficznej analizie twierdzenia Bolzano możemy wiedzieć, że dla każdej funkcji f ciągłej zdefiniowanej w przedziale [a, b], gdzie f (a) _* f (b) jest mniejsze niż 0, będzie co najmniej jeden korzeń «c »Z tej funkcji w przedziale (a, b).

Twierdzenie to nie określa liczby punktów istniejących w tym przedziale otwartym, stwierdza jedynie, że jest co najmniej 1 punkt.

Demonstracja

Aby udowodnić twierdzenie Bolzano, zakłada się, że bez utraty ogólności f (a) 0; w ten sposób może istnieć wiele wartości pomiędzy „a” i „b”, dla których f (x) = 0, ale tylko jedna musi być pokazana, aby istnieć.

Zacznij od oceny f w punkcie środkowym (a + b) / 2. Jeśli f ((a + b) / 2) = 0, test kończy się tutaj; w przeciwnym razie f ((a + b) / 2) jest dodatni lub ujemny.

Wybrana jest jedna z połówek przedziału [a, b], tak że znaki funkcji ocenianej na końcach są różne. Tym nowym interwałem będzie [a1, b1].

Teraz, jeśli f obliczone w punkcie środkowym [a1, b1] nie jest zerem, to wykonywana jest taka sama operacja jak poprzednio; to znaczy, że wybierana jest połowa tego przedziału, który spełnia warunek znaków. Niech ten nowy przedział będzie [a2, b2].

Jeśli ten proces będzie kontynuowany, zostaną podjęte dwie sukcesje {an} i {bn}, tak że:

{an} rośnie, a {bn} maleje:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Jeśli obliczysz długość każdego interwału [ai, bi], będziesz musiał:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

...

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Dlatego limit, gdy n dąży do nieskończoności (bn-an), jest równy 0.

Używając tego, że {an} zwiększa się i ogranicza, a {bn} maleje i ogranicza, istnieje wartość „c”, która:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Limit an to „c”, a limit {bn} również „c”. Dlatego, biorąc pod uwagę dowolny δ> 0, zawsze istnieje „n”, tak że przedział [an, bn] jest zawarty w przedziale (c-δ, c + δ).

Teraz trzeba pokazać, że f (c) = 0.

Jeśli f (c)> 0, to ponieważ f jest ciągłe, istnieje ε> 0, tak że f jest dodatnie w całym przedziale (c-ε, c + ε). Jednakże, jak stwierdzono powyżej, istnieje wartość „n”, tak że zmiany f podpisują się w [an, bn], a ponadto [an, bn] jest zawarte w (c-ε, c + ε), co jest sprzecznością.

Jeśli f (c) 0 jest takie, że f jest ujemne w całym przedziale (c-ε, c + ε); ale istnieje wartość „n”, taka, że ​​zmiany f podpisują się w [an, bn]. Okazuje się, że [an, bn] jest zawarte w (c-ε, c + ε), co jest również sprzecznością.

Dlatego f (c) = 0 i właśnie to chcieliśmy zademonstrować.

Po co to jest?

Z jego graficznej interpretacji, twierdzenie Bolzano jest używane do znalezienia korzeni lub zer w funkcji ciągłej, poprzez bisekcji (przybliżenie), która jest przyrostową metodą wyszukiwania, która zawsze dzieli przedziały na 2.

Następnie wykonaj interwał [a, c] lub [c, b], w którym następuje zmiana znaku, i powtórz proces, aż interwał będzie coraz mniejszy, abyś mógł zbliżyć się do żądanej wartości; to znaczy wartość, którą funkcja tworzy 0.

Podsumowując, aby zastosować twierdzenie Bolzano, a tym samym znaleźć korzenie, rozgraniczyć zera funkcji lub dać rozwiązanie równania, wykonuje się następujące kroki:

- Sprawdź, czy f jest funkcją ciągłą w przedziale [a, b].

- Jeśli odstęp nie jest podany, należy znaleźć miejsce, w którym funkcja jest ciągła.

- Sprawdź, czy skrajne przedziały dają przeciwne znaki, gdy są oceniane w f.

- Jeśli nie uzyska się przeciwnych znaków, odstęp należy podzielić na dwa podprzedziały za pomocą punktu środkowego.

- Oceń funkcję w punkcie środkowym i sprawdź, czy hipoteza Bolzano jest spełniona, gdzie f (a) _* f (b) <0.

- W zależności od znaku (dodatniego lub ujemnego) znalezionej wartości proces powtarza się z nowym podprzedziałem, aż do spełnienia wspomnianej hipotezy.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Określ, czy funkcja f (x) = x2 - 2 ma przynajmniej jedno rzeczywiste rozwiązanie w przedziale [1, 2].

Rozwiązanie

Mamy funkcję f (x) = x2 - 2. Ponieważ jest wielomianowa, oznacza to, że jest ciągła w dowolnym przedziale.

Jesteś proszony o określenie, czy masz prawdziwe rozwiązanie w przedziale [1, 2], więc teraz musisz tylko zastąpić skrajne przedziały w funkcji, aby poznać ich znak i wiedzieć, czy spełniają warunek bycia innym:

f (x) = x2 - 2

f (1) = 12 - 2 = -1 (ujemne)

f (2) = 22 - 2 = 2 (dodatni)

Dlatego znak f (1) ≠ znak f (2).

Zapewnia to, że istnieje co najmniej jeden punkt „c” należący do przedziału [1, 2], gdzie f (c) = 0.

W tym przypadku wartość „c” można łatwo obliczyć w następujący sposób:

x2 - 2 = 0

x = ± √2.

Zatem √2 ≈ 1.4 należy do przedziału [1, 2] i spełnia warunek, że f (√2) = 0.

Ćwiczenie 2

Pokaż, że równanie x5 + x + 1 = 0 ma co najmniej jedno prawdziwe rozwiązanie.

Rozwiązanie

Najpierw zauważ, że f (x) = x5 + x + 1 jest funkcją wielomianową, co oznacza, że ​​jest ciągła we wszystkich liczbach rzeczywistych.

W tym przypadku nie podano interwału, dlatego wartości powinny być wybierane intuicyjnie, najlepiej blisko 0, aby ocenić funkcję i znaleźć zmiany znaku:

Jeśli korzystasz z interwału [0, 1], musisz:

f (x) = x5 + x + 1.

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.

Ponieważ nie ma zmiany znaku, proces jest powtarzany z innym interwałem.

Jeśli użyjesz interwału [-1, 0], musisz:

f (x) = x5 + x + 1.

f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.

W tym przedziale następuje zmiana znaku: znak f (-1) ≠ znaku f (0), co oznacza, że ​​funkcja f (x) = x5 + x + 1 ma co najmniej jeden prawdziwy korzeń „c” w przedział [-1, 0], taki, że f (c) = 0. Innymi słowy, prawdą jest, że x5 + x + 1 = 0 ma rzeczywiste rozwiązanie w przedziale [-1, 0].