Twierdzenie Czebyszowa: w czym on się składa, zastosowania i przykłady

Twierdzenie Czebyszewa (lub nierówność Czebyszewa ) jest jednym z najważniejszych klasycznych wyników teorii prawdopodobieństwa. Pozwala oszacować prawdopodobieństwo zdarzenia opisanego w postaci zmiennej losowej X, dostarczając nam wymiaru, który nie zależy od rozkładu zmiennej losowej, ale od wariancji X.

Twierdzenie to zostało nazwane na cześć rosyjskiego matematyka Pafnuty Chebyshova (także napisanego jako Czebyszewa lub Tchebycheffa), który, mimo że nie był pierwszym, który wypowiedział to twierdzenie, jako pierwszy dał demonstrację w 1867 roku.

Ta nierówność, lub te, które ze względu na ich cechy nazywane są nierównością Czebyszowa, służy głównie do przybliżania prawdopodobieństw za pomocą obliczania wymiarów.

Z czego się składa?

W badaniu teorii prawdopodobieństwa zdarza się, że jeśli znamy funkcję rozkładu zmiennej losowej X, możemy obliczyć jej oczekiwaną wartość - lub oczekiwanie matematyczne E (X) - i jej wariancję Var (X), o ile wspomniane kwoty istnieją. Jednak wzajemność niekoniecznie jest prawdziwa.

To znaczy, znając E (X) i Var (X), niekoniecznie jest możliwe uzyskanie funkcji rozkładu X, więc wielkości takie jak P (| X |> k) dla niektórych k> 0 są bardzo trudne do uzyskania. Ale dzięki nierówności Czebyszewa możliwe jest oszacowanie prawdopodobieństwa zmiennej losowej.

Twierdzenie Czebyszowa mówi nam, że jeśli mamy losową zmienną X na przestrzeni próbkowania S z funkcją prawdopodobieństwa p, a jeśli k> 0, to:

Aplikacje i przykłady

Wśród wielu zastosowań twierdzenia Czebyszewa można wymienić następujące:

Granica prawdopodobieństw

Jest to najczęściej stosowana aplikacja i służy do podania górnej granicy dla P (| XE (X) | ≥k), gdzie k> 0, tylko z wariancją i oczekiwaniem zmiennej losowej X, bez znajomości funkcji prawdopodobieństwa,

Przykład 1

Załóżmy, że liczba produktów wyprodukowanych w firmie w ciągu tygodnia jest zmienną losową ze średnią 50.

Jeśli wiemy, że wariancja tygodnia produkcji jest równa 25, to co możemy powiedzieć o prawdopodobieństwie, że w tym tygodniu produkcja będzie się różnić o więcej niż 10 od średniej?

Rozwiązanie

Stosując nierówność Czebyszewa musimy:

Z tego możemy uzyskać, że prawdopodobieństwo, że w tygodniu produkcji liczba artykułów przekroczy więcej niż 10 do średniej wynosi najwyżej 1/4.

Demonstracja twierdzeń granicznych

Nierówność Czebyszowa odgrywa ważną rolę w demonstracji najważniejszych twierdzeń granicznych. Jako przykład mamy następujące:

Słabe prawo wielkich liczb

Prawo to ustanawia, że dana sekwencja X1, X2, ..., Xn, ... niezależnych zmiennych losowych o tym samym średnim rozkładzie E (Xi) = μ i wariancji Var (X) = σ2, i znanej średniej próbce:

Następnie dla k> 0 musisz:

Lub, równoważnie:

Demonstracja

Zauważmy najpierw:

Ponieważ X1, X2, ..., Xn są niezależne, wynika z tego:

Dlatego można potwierdzić, co następuje:

Następnie, używając twierdzenia Czebyszewa, musimy:

Wreszcie twierdzenie wynika z faktu, że granica w prawo wynosi zero, gdy n dąży do nieskończoności.

Należy zauważyć, że test ten przeprowadzono tylko w przypadku, w którym istnieje wariancja Xi; to znaczy, nie rozbiega się. Obserwujemy więc, że twierdzenie jest zawsze prawdziwe, jeśli istnieje E (Xi).

Twierdzenie graniczne Czebyszewa

Jeśli X1, X2, ..., Xn, ... to szereg niezależnych zmiennych losowych, takich jak C0:

Demonstracja

Ponieważ sukcesja wariancji jest jednolicie ograniczona, mamy Var (Sn) ≤ C / n, dla wszystkich naturalnych n. Ale wiemy, że:

Dzięki temu, że n dąży do nieskończoności, następujące wyniki:

Ponieważ prawdopodobieństwo nie może przekroczyć wartości 1, uzyskuje się pożądany wynik. W konsekwencji tego twierdzenia możemy wymienić konkretny przypadek Bernoulliego.

Jeśli eksperyment jest powtarzany n razy niezależnie z dwoma możliwymi wynikami (niepowodzenie i sukces), gdzie p jest prawdopodobieństwem sukcesu w każdym eksperymencie, a X jest zmienną losową reprezentującą liczbę uzyskanych sukcesów, następnie dla każdego k> 0 musisz:

Wielkość próbki

Jeśli chodzi o wariancję, nierówność Czebyszewa pozwala nam znaleźć próbkę o rozmiarze n, która jest wystarczająca, aby zagwarantować, że prawdopodobieństwo, że | Sn-μ |> = k, jest tak małe, jak to pożądane, co pozwala nam uzyskać przybliżenie do średniej.

Dokładniej, niech X1, X2, ... Xn będą próbką niezależnych zmiennych losowych o wielkości n i niech E (Xi) = μ i jego wariancja σ2. Następnie, z powodu nierówności Czebyszewa, musimy:

Przykład

Załóżmy, że X1, X2, ... Xn są próbką niezależnych zmiennych losowych z rozkładem Bernoulliego, tak że przyjmują wartość 1 z prawdopodobieństwem p = 0, 5.

Jaka powinna być wielkość próbki, aby zagwarantować, że prawdopodobieństwo, że różnica między średnią arytmetyczną Sn i jej oczekiwaną wartością (która przekracza więcej niż 0, 1), jest mniejsza lub równa 0. 01?

Rozwiązanie

Mamy, że E (X) = μ = p = 0, 5 i że Var (X) = σ2 = p (1-p) = 0, 25. Dla nierówności Czebyszewa, dla każdego k> 0 musimy:

Teraz, biorąc k = 0, 1 i δ = 0, 01, musimy:

W ten sposób stwierdza się, że potrzebna jest wielkość próbki wynosząca co najmniej 2500, aby zapewnić, że prawdopodobieństwo zdarzenia | Sn - 0, 5 |> = 0, 1 jest mniejsze niż 0, 01.

Nierówności typu Czebyszewa

Istnieją nierówności związane z nierównością Czebyszowa. Jedną z najbardziej znanych jest nierówność Markowa:

W tym wyrażeniu X jest nieujemną zmienną losową z k, r> 0.

Nierówność Markowa może przybierać różne formy. Na przykład, niech Y będzie nieujemną zmienną losową (więc P (Y> = 0) = 1) i przypuśćmy, że istnieje E (Y) = μ. Załóżmy również, że (E (Y)) r = μ _r istnieje dla pewnej liczby całkowitej r> 1. Następnie: