Rozkłady dyskretnego prawdopodobieństwa: charakterystyka i ćwiczenia

Dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa są funkcją, która przypisuje każdemu elementowi X (S) = {x1, x2, ..., xi, ...}, gdzie X jest daną dyskretną zmienną losową, a S jest jej przestrzenią próbną, prawdopodobieństwem, że wspomniane zdarzenie ma miejsce. Ta funkcja f X (S) zdefiniowana jako f (xi) = P (X = xi) jest czasami nazywana funkcją masy prawdopodobieństwa.

Ta masa prawdopodobieństw jest zwykle przedstawiana jako tabela. Ponieważ X jest zmienną losową dyskretną, X (S) ma skończoną liczbę zdarzeń lub policzalną nieskończoność. Wśród najczęstszych dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa mamy rozkład jednorodny, rozkład dwumianowy i rozkład Poissona.

Funkcje

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa musi spełniać następujące warunki:

Ponadto, jeśli X przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości (na przykład x1, x2, ..., xn), to p (xi) = 0, jeśli i> ny, dlatego nieskończona seria warunków b staje się skończona seria.

Ta funkcja spełnia również następujące właściwości:

Niech B będzie zdarzeniem związanym ze zmienną losową X. Oznacza to, że B jest zawarte w X (S). W szczególności załóżmy, że B = {xi1, xi2, ...}. Dlatego:

Innymi słowy, prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe sumie prawdopodobieństw poszczególnych wyników związanych z B.

Z tego możemy wyciągnąć wniosek, że jeśli a <b, zdarzenia (X ≤ a) i (a <X ≤ b) wzajemnie się wykluczają, a dodatkowo ich związek jest zdarzeniem (X ≤ b), to mamy:

Typy

Równomierny rozkład w n punktach

Mówi się, że zmienna losowa X podąża za rozkładem charakteryzującym się tym, że jest jednolita w n punktach, jeśli każdej wartości przypisane jest to samo prawdopodobieństwo. Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:

Przypuśćmy, że mamy eksperyment, który ma dwa możliwe wyniki, może to być rzucanie monety, której możliwymi wynikami są twarz lub pieczęć, lub wybór liczby całkowitej, której wynikiem może być liczba parzysta lub nieparzysta; Ten rodzaj eksperymentu jest znany jako testy Bernoulliego.

Ogólnie rzecz biorąc, dwa możliwe wyniki nazywane są sukcesem i porażką, gdzie p jest prawdopodobieństwem sukcesu, a p niepowodzeniem. Możemy określić prawdopodobieństwo x sukcesów w n testach Bernoulliego, które są od siebie niezależne z następującym rozkładem.

Rozkład dwumianowy

To właśnie ta funkcja reprezentuje prawdopodobieństwo uzyskania x sukcesów w n niezależnych testach Bernoulliego, których prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p. Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:

Poniższy wykres przedstawia funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu dwumianowego.

Następująca dystrybucja zawdzięcza swoją nazwę francuskiemu matematykowi Simeonowi Poissonowi (1781-1840), który uzyskał go jako granicę rozkładu dwumianowego.

Rozkład Poissona

Mówi się, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona parametru λ, gdy może przyjąć dodatnie wartości całkowite 0, 1, 2, 3, ... z następującym prawdopodobieństwem:

W tym wyrażeniu λ jest średnią liczbą odpowiadającą wystąpieniom zdarzenia dla każdej jednostki czasu, a x oznacza liczbę wystąpień zdarzenia.

Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:

Następnie wykres przedstawiający funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu Poissona.

Zauważ, że tak długo, jak liczba sukcesów jest niska, a liczba n testów wykonywanych w rozkładzie dwumianowym jest wysoka, zawsze możemy przybliżać te rozkłady, ponieważ rozkład Poissona jest granicą rozkładu dwumianowego.

Główna różnica między tymi dwoma rozkładami polega na tym, że dwumian zależy od dwóch parametrów - mianowicie n i p-tylko Poissona zależy od λ, co czasami nazywane jest intensywnością rozkładu.

Do tej pory mówiliśmy tylko o rozkładach prawdopodobieństwa dla przypadków, w których różne eksperymenty są od siebie niezależne; to znaczy, gdy na wynik jednego nie ma wpływu inny wynik.

Gdy dochodzi do eksperymentów, które nie są niezależne, dystrybucja hipergeometryczna jest bardzo przydatna.

Rozkład hipergeometryczny

Niech N będzie całkowitą liczbą obiektów zbioru skończonego, z których możemy w jakiś sposób zidentyfikować ak, tworząc w ten sposób podzbiór K, którego dopełnienie tworzą pozostałe elementy Nk.

Jeśli losowo wybieramy n obiektów, zmienna losowa X reprezentująca liczbę obiektów należących do K w tym wyborze ma hipergeometryczny rozkład parametrów N, n i k. Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:

Poniższy wykres przedstawia funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu hipergeometrycznego.

Rozwiązane ćwiczenia

Pierwsze ćwiczenie

Załóżmy, że prawdopodobieństwo, że lampa radiowa (umieszczona w określonym typie sprzętu) działa dłużej niż 500 godzin, wynosi 0, 2. Jeśli testowanych jest 20 rur, jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie k z nich zadziała więcej niż 500 godzin, k = 0, 1, 2, ..., 20?

Rozwiązanie

Jeśli X jest liczbą lamp, które działają ponad 500 godzin, założymy, że X ma rozkład dwumianowy. Potem

I tak:

Dla k≥11 prawdopodobieństwa są mniejsze niż 0, 001

Widzimy więc, jak zwiększa się prawdopodobieństwo, że te k pracują ponad 500 godzin, aż osiągną maksymalną wartość (z k = 4), a następnie zaczną spadać.

Drugie ćwiczenie

Moneta jest rzucana 6 razy. Gdy wynik będzie drogi, powiemy, że jest to sukces. Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch twarzy?

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy n = 6, a prawdopodobieństwo sukcesu i niepowodzenia wynosi p = q = 1/2

Dlatego prawdopodobieństwo podania dwóch ścian (tj. K = 2) wynosi

Trzecie ćwiczenie

Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia co najmniej czterech twarzy?

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy k = 4, 5 lub 6

Trzecie ćwiczenie

Załóżmy, że 2% artykułów wyprodukowanych w fabryce jest wadliwych. Znajdź prawdopodobieństwo P, że w próbce 100 pozycji znajdują się trzy wadliwe elementy.