Podział syntetyczny: Metoda i rozwiązane ćwiczenia
Podział syntetyczny jest prostym sposobem dzielenia wielomianu P (x) przez dowolną z postaci d (x) = x - c. Jest to bardzo użyteczne narzędzie, ponieważ oprócz umożliwienia nam dzielenia wielomianów, pozwala nam również na ocenę wielomianu P (x) w dowolnej liczbie c, która z kolei mówi nam dokładnie, czy liczba ta jest równa zero, czy nie wielomianu.
Dzięki algorytmowi podziału wiemy, że jeśli mamy dwa niezmienne wielomiany P (x) i d (x), istnieją unikalne wielomiany q (x) i r (x) takie, że P (x) = q (x ) d (x) + r (x), gdzie r (x) wynosi zero lub jest mniejsze niż q (x). Te wielomiany są znane odpowiednio jako iloraz i reszta lub reszta.
Czasami, gdy wielomian d (x) ma postać x-c, podział syntetyczny daje nam krótki sposób znajdowania osób, które są q (x) i r (x).
Metoda podziału syntetycznego
Niech P (x) = a n xn + a n-1 xn-1 + ... + 1 x + 0 wielomian chcemy podzielić yd (x) = xc dzielnik. Aby podzielić metodą podziału syntetycznego, postępujemy następująco:
1- Piszemy współczynniki P (x) w pierwszym rzędzie. Jeśli jakakolwiek moc X nie pojawia się, to jako współczynnik stawiamy zero.
2- W drugim rzędzie, na lewo od n, umieszczamy c, i rysujemy linie podziału, jak pokazano na poniższym rysunku:
3- Obniżamy współczynnik wiodący do trzeciego rzędu.
W tym wyrażeniu b n-1 = a n
4- Pomnożymy c przez współczynnik wiodący b n-1, a wynik jest zapisany w drugim rzędzie, ale kolumna po prawej.
5- Dodajemy kolumnę, w której napisaliśmy poprzedni wynik i wynik, który umieściliśmy pod tą sumą; to znaczy w tej samej kolumnie, w trzecim rzędzie.
Podczas dodawania mamy jako wynik n-1 + c * b n-1, który dla wygody nazwiemy b n-2
6- Pomnożymy c przez poprzedni wynik i zapisujemy wynik po jego prawej stronie w drugim rzędzie.
7- Powtarzamy krok 5 i 6, aż osiągniemy współczynnik równy 0 .
8- Napisz odpowiedź; to znaczy iloraz i pozostałość. Ponieważ dokonujemy podziału wielomianu stopnia n między wielomianem stopnia 1, mamy poważny iloraz stopnia n-1.
Współczynniki wielomianu ilorazowego będą liczbami trzeciego rzędu z wyjątkiem ostatniego, który będzie resztowym wielomianem lub resztą podziału.
Rozwiązane ćwiczenia
Przykład 1
Wykonaj następujący podział według metody podziału syntetycznego:
(x5 + 3x4-7x3 + 2x2-8x + 1): (x + 1).
Rozwiązanie
Najpierw piszemy współczynniki dywidendy w następujący sposób:
Następnie piszemy c po lewej stronie, w drugim rzędzie, wraz z liniami podziału. W tym przykładzie c = -1.
Obniżamy współczynnik wiodący (w tym przypadku b n-1 = 1) i mnożymy go przez -1:
Twój wynik zapisujemy po prawej stronie w drugim wierszu, jak pokazano poniżej:
Dodajemy liczby w drugiej kolumnie:
Pomnóżmy 2 przez -1 i zapisz wynik w trzeciej kolumnie, drugim rzędzie:
Dodajemy w trzeciej kolumnie:
Postępujemy analogicznie do ostatniej kolumny:
Tak więc, ostatnia uzyskana liczba to reszta podziału, a pozostałe liczby to współczynniki wielomianu ilorazowego. Jest to napisane w następujący sposób:
Jeśli chcemy sprawdzić, czy wynik jest poprawny, wystarczy sprawdzić, czy spełnione jest następujące równanie:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
W ten sposób możemy sprawdzić, czy uzyskany wynik jest poprawny.
Przykład 2
Wykonaj następny podział wielomianów metodą podziału syntetycznego
(7x3-x + 2): (x + 2)
Rozwiązanie
W tym przypadku mamy, że termin x2 nie pojawia się, więc będziemy zapisywać 0 jako jego współczynnik. Zatem wielomian pozostałby jako 7x3 + 0x2-x + 2.
Piszemy ich współczynniki z rzędu, to jest:
W drugim rzędzie zapisujemy wartość C = -2 po lewej stronie i rysujemy linie podziału.
Obniżamy współczynnik wiodący b n-1 = 7 i mnożymy go przez -2, zapisując jego wynik w drugim rzędzie po prawej stronie.
Dodajemy i postępujemy zgodnie z wcześniejszymi wyjaśnieniami, dopóki nie osiągniemy ostatniego terminu:
W tym przypadku reszta to r (x) = - 52, a uzyskany iloraz to q (x) = 7x2-14x + 27.
Przykład 3
Innym sposobem użycia podziału syntetycznego jest: załóżmy, że mamy wielomian P (x) stopnia n i chcemy wiedzieć, jaka jest wartość przy jego ocenie w x = c.
Algorytmem podziału mamy to, że możemy napisać wielomian P (x) w następujący sposób:
We wspomnianym wyrażeniu q (x) i r (x) są ilorazem, a reszta odpowiednio. Teraz, jeśli d (x) = x-c, podczas oceny cw wielomianu znajdziemy następujące:
Dlatego musimy tylko znaleźć ar (x), a to możemy zrobić dzięki podziałowi syntetycznemu.
Na przykład mamy wielomian P (x) = x7-9x6 + 19x5 + 12x4-3x3 + 19x2-37x-37 i chcemy wiedzieć, jaka jest jego wartość przy ocenie go w x = 5. W tym celu przeprowadzamy podział między P (x) yd (x) = x -5 metodą podziału syntetycznego:
Po zakończeniu operacji wiemy, że możemy napisać P (x) w następujący sposób:
P (x) = (x6-4x5 -x4 + 7x3 + 32x2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
Dlatego oceniając to musimy:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
Jak widzimy, możliwe jest użycie podziału syntetycznego do znalezienia wartości wielomianu podczas oceny go w c zamiast zwykłego zastąpienia c przez x.
Gdybyśmy próbowali ocenić P (5) w tradycyjny sposób, musielibyśmy dokonać pewnych obliczeń, które zwykle stają się nużące.
Przykład 4
Algorytm podziału dla wielomianów jest również spełniony dla wielomianów o złożonych współczynnikach, w związku z czym metoda podziału syntetycznego działa również dla wspomnianych wielomianów. Następnie zobaczymy przykład.
Użyjemy metody podziału syntetycznego, aby pokazać, że z = 1+ 2i to zero wielomianu P (x) = x3 + (1 + i) x2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); to znaczy, że reszta podziału P (x) między d (x) = x - z jest równa zero.
Postępujemy tak jak poprzednio: w pierwszym wierszu zapisujemy współczynniki P (x), następnie w drugim piszemy z i rysujemy linie podziału.
Dokonaliśmy podziału jak poprzednio; to jest:
Widzimy, że pozostałość wynosi zero; dlatego dochodzimy do wniosku, że z = 1+ 2i to zero P (x).
