Homothety: Właściwości, typy i przykłady
Homothety to geometryczna zmiana w płaszczyźnie, w której z ustalonego punktu zwanego środkiem (O) odległości są mnożone przez wspólny współczynnik. W ten sposób każdy punkt P odpowiada produktowi P innego punktu transformacji, a te są wyrównane z punktem O.
Następnie homothety jest zgodnością między dwiema figurami geometrycznymi, gdzie przekształcone punkty nazywane są homotetycznymi, a te są wyrównane z punktem stałym i segmentami równoległymi do siebie.
Homothety
Homothety jest transformacją, która nie ma przystającego obrazu, ponieważ z figury uzyskana zostanie jedna lub więcej figur o większym lub mniejszym rozmiarze niż oryginalna figura; to znaczy, że homothety przekształca wielokąt w inny podobny.
Aby spełnić homoseksualizm, muszą odpowiadać punktowi od punktu do punktu i prosto do prostej, tak aby pary punktów homologicznych były wyrównane z trzecim stałym punktem, który jest centrum homothety.
Podobnie pary linii, które je łączą, muszą być równoległe. Związek między takimi segmentami jest stałą zwaną współczynnikiem homothety (k); w taki sposób, że dom może być zdefiniowany jako:
Aby dokonać tego typu transformacji, zaczynamy od wybrania dowolnego punktu, który będzie centrum homothety.
Od tego momentu segmenty linii są rysowane dla każdego wierzchołka figury, która ma zostać przekształcona. Skalę, na której dokonuje się reprodukcja nowej figury, określa stosunek homothety (k).
Właściwości
Jedną z głównych właściwości homothety jest to, że ze względu na homothety (k) wszystkie homotetyczne postacie są podobne. Wśród innych wyróżniających się właściwości są następujące:
- Środek homothety (O) jest jedynym podwójnym punktem i staje się on sam; to znaczy, nie zmienia się.
- Linie przechodzące przez środek przekształcają się (są podwójne), ale punkty, które go tworzą, nie są podwójne.
- Linie, które nie przechodzą przez środek, są przekształcane w równoległe linie; w ten sposób kąty homothety pozostają takie same.
- Obraz segmentu przez homothety środka O i stosunek k, jest segmentem równoległym do niego i ma k razy jego długość. Na przykład, jak widać na poniższym obrazie, segment AB przez homotetyczny spowoduje inny segment A'B ', tak że AB będzie równoległy do A'B', a k będzie:
- Kąty homotetyczne są przystające; to znaczy, mają ten sam środek. Dlatego obraz kąta jest kątem, który ma tę samą amplitudę.
Z drugiej strony, homothety zmienia się w zależności od wartości jego współczynnika (k) i mogą wystąpić następujące przypadki:
- Jeśli stała k = 1, wszystkie punkty są ustalone, ponieważ przekształcają się same. Tak więc homotetyczna postać pokrywa się z oryginałem i transformacja będzie nazywana funkcją tożsamości.
- Jeśli k ≠ 1, jedynym stałym punktem będzie centrum homothety (O).
- Jeśli k = -1, homothety staje się centralną symetrią (C); to znaczy obrót wokół C wystąpi pod kątem 180 °.
- Jeśli k> 1, rozmiar przekształconej liczby będzie większy niż rozmiar oryginału.
- Jeśli 0 <k <1, rozmiar przekształconej liczby będzie mniejszy niż oryginał.
- Jeśli -1 <k <0, rozmiar przekształconej liczby będzie mniejszy i zostanie obrócony względem oryginału.
- Jeśli k <-1, rozmiar przekształconej figury będzie większy i obrócony względem oryginału.
Typy
Homothety można również podzielić na dwa typy, w zależności od wartości jego stosunku (k):
Bezpośrednia homothety
Zdarza się, jeśli stała k> 0; to znaczy punkty homotetyczne znajdują się po tej samej stronie względem centrum:
Czynnik proporcjonalności lub stosunek podobieństwa między bezpośrednimi homotetycznymi postaciami zawsze będzie dodatni.
Odwrotna homoteza
Zdarza się, jeśli stała k <0; to znaczy punkty początkowe i ich homotetyczne punkty znajdują się na przeciwnych końcach w odniesieniu do centrum homothety, ale są do niego dostosowane. Środek będzie między dwiema cyframi:
Współczynnik proporcjonalności lub stosunek podobieństwa między homotetycznymi odwrotnymi liczbami zawsze będzie ujemny.
Skład
Gdy kilka ruchów jest wykonywanych kolejno, aż do uzyskania liczby równej oryginałowi, zachodzi kompozycja ruchów. Skład kilku ruchów jest również ruchem.
Kompozycja między dwoma homoteizmami skutkuje nową homotecią; to znaczy, mamy produkt homotetyczny, w którym środek będzie wyrównany ze środkiem dwóch oryginalnych transformacji, a stosunek (k) jest wynikiem dwóch powodów.
Zatem w składzie dwóch homotetii H 1 (O 1, k 1 ) i H2 (O 2, k 2 ), mnożenie ich stosunków: k 1 x k 2 = 1 spowoduje jednorodność stosunku k 3 = k 1 x k 2 Centrum tej nowej homothety (O 3 ) będzie znajdować się na linii O 1 O 2 .
Homothety odpowiada płaskiej i nieodwracalnej zmianie; jeśli zastosuje się dwie homoteje o tym samym środku i proporcji, ale z innym znakiem, uzyskana zostanie oryginalna postać.
Przykłady
Pierwszy przykład
Zastosuj homothety do danego wielokąta środkowego (O), znajdującego się 5 cm od punktu A i którego współczynnik wynosi k = 0, 7.
Rozwiązanie
Każdy punkt jest wybrany jako środek homothety, a z tego promienia są rysowane wierzchołki figury:
Odległość od środka (O) do punktu A wynosi OA = 5; dzięki temu możesz określić odległość jednego z punktów homotetycznych (OA), wiedząc również, że k = 0, 7:
OA '= kx OA.
OA '= 0, 7 x 5 = 3, 5.
Proces można wykonać dla każdego wierzchołka lub można narysować homotetyczny wielokąt pamiętając, że dwa wielokąty mają równoległe boki:
Wreszcie transformacja wygląda tak:
Drugi przykład
Zastosuj homothety do danego wielokąta centrum (O), znajdującego się na 8, 5 cm od punktu C i którego współczynnik y k = -2.
Rozwiązanie
Odległość od środka (O) do punktu C wynosi OC = 8, 5; dzięki tym danym możliwe jest określenie odległości jednego z punktów homotetycznych (OC '), wiedząc również, że k = -2:
OC '= kx OC.
OC '= -2 x 8, 5 = -17
Po narysowaniu segmentów wierzchołków przekształconego wielokąta mamy punkty początkowe i ich homotetykę znajdujące się na przeciwnych końcach względem środka:
