Transformacje izometryczne: skład, typy i przykłady
Transformacje izometryczne to zmiany położenia lub orientacji pewnej figury, które nie zmieniają jej kształtu ani wielkości. Transformacje te dzielą się na trzy typy: translacja, rotacja i odbicie (izometria). Ogólnie rzecz biorąc, przekształcenia geometryczne pozwalają stworzyć nową figurę z innej podanej.
Transformacja w figurę geometryczną oznacza, że w jakiś sposób została ona poddana pewnym zmianom; to znaczy, że zostało zmienione. Zgodnie z sensem oryginału i podobnego w płaszczyźnie, przekształcenia geometryczne można podzielić na trzy typy: izometryczny, izomorficzny i anamorficzny.
Funkcje
Przekształcenia izometryczne zachodzą, gdy zachowane są wielkości segmentów i kąty między pierwotną a przekształconą postacią.
W tym typie transformacji ani kształt, ani wielkość figury nie są zmieniane (są przystające), jest to tylko zmiana położenia figury, albo w orientacji, albo w kierunku. W ten sposób początkowe i końcowe liczby będą podobne i geometrycznie przystające.
Izometria odnosi się do równości; to znaczy, że figury geometryczne będą izometryczne, jeśli mają ten sam kształt i rozmiar.
W transformacjach izometrycznych jedyną rzeczą, którą można zaobserwować, jest zmiana położenia w płaszczyźnie, występuje sztywny ruch, dzięki któremu figura przechodzi z pozycji początkowej do pozycji końcowej. Ta liczba jest nazywana homologiczną (podobną) do oryginału.
Istnieją trzy rodzaje ruchów, które klasyfikują transformację izometryczną: translacja, obrót i odbicie lub symetria.
Typy
Przez tłumaczenie
Są to te izometrie, które pozwalają poruszać się w linii prostej wszystkie punkty płaszczyzny w określonym kierunku i odległości.
Kiedy figura jest przekształcana przez translację, nie zmienia swojej orientacji w stosunku do pozycji początkowej, ani nie traci wewnętrznych miar, miar kątów i boków. Ten typ przemieszczenia jest zdefiniowany przez trzy parametry:
- Jeden kierunek, który może być poziomy, pionowy lub ukośny.
- Sens, który może być w lewo, w prawo, w górę lub w dół.
- Odległość lub wielkość, która jest długością od początkowej pozycji do końca dowolnego poruszającego się punktu.
Aby transformacja izometryczna przez tłumaczenie została spełniona, musi spełniać następujące warunki:
- Figura musi zawsze zachowywać wszystkie swoje wymiary, zarówno liniowe, jak i kątowe.
- Liczba nie zmienia swojej pozycji względem osi poziomej; to znaczy, że jego kąt nigdy się nie zmienia.
- Tłumaczenia zawsze będą podsumowane w jednym, niezależnie od liczby wykonanych tłumaczeń.
W płaszczyźnie, w której środek jest punktem O, ze współrzędnymi (0, 0), translacja jest definiowana przez wektor T (a, b), który wskazuje przemieszczenie punktu początkowego. To jest:
P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)
Na przykład, jeśli translacja T (-4, 7) zostanie zastosowana do punktu współrzędnych P (8, -2), uzyskamy:
P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)
Na poniższym zdjęciu (po lewej) widać, jak punkt C przesuwał się, aby pokryć się z punktem D. Robił to w kierunku pionowym, kierunek był w górę, a odległość CD lub odległość wynosiła 8 metrów. Na prawym zdjęciu obserwuje się tłumaczenie trójkąta:
Przez obrót
Są to te izometrie, które pozwalają figurze obracać wszystkie punkty płaszczyzny. Każdy punkt obraca się po łuku o stałym kącie i określonym punkcie stałym (środku obrotu).
Oznacza to, że cały obrót zostanie określony przez jego środek obrotu i kąt obrotu. Kiedy figura jest przekształcana przez obrót, zachowuje miarę kątów i boków.
Obrót następuje w pewnym kierunku, jest dodatni, gdy obrót jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara (w przeciwieństwie do tego, jak obracają się ręce zegara) i ujemny, gdy jego obrót jest zgodny z ruchem wskazówek zegara.
Jeśli punkt (x, y) jest obrócony względem początku - to znaczy jego środek obrotu wynosi (0, 0) -, pod kątem 90o do 360o współrzędne punktów będą:
W przypadku, gdy obrót nie ma środka w punkcie początkowym, początek układu współrzędnych musi zostać przeniesiony na nowe dane pochodzenie, aby móc obrócić figurę mającą początek jako środek.
Na przykład, jeśli punkt P (-5.2) ma obrót o 90o wokół początku i w kierunku dodatnim, jego nowe współrzędne będą (-2, 5).
Przez odbicie lub symetrię
Są to transformacje, które odwracają punkty i figury samolotu. Ta inwestycja może dotyczyć punktu lub może dotyczyć linii.
Innymi słowy, w tego typu transformacji każdy punkt oryginalnej figury jest powiązany z innym punktem (obrazem) figury homologicznej, w taki sposób, że punkt i jego obraz znajdują się w tej samej odległości od linii zwanej osią symetrii.,
Tak więc lewa część figury będzie odbiciem prawej części, bez zmiany jej kształtu lub wymiarów. Symetria przekształca jedną postać w drugą, choć w przeciwnym kierunku, jak widać na poniższym obrazie:
Symetria występuje w wielu aspektach, takich jak niektóre rośliny (słoneczniki), zwierzęta (pawie) i zjawiska naturalne (płatki śniegu). Człowiek odbija to na jego twarzy, co jest uważane za czynnik piękna. Odbicie lub symetria mogą być dwojakiego rodzaju:
Centralna symetria
To właśnie ta transformacja zachodzi w odniesieniu do punktu, w którym figura może zmienić swoją orientację. Każdy punkt oryginalnej figury i jej obraz znajdują się w tej samej odległości od punktu O, zwanego środkiem symetrii. Symetria jest kluczowa, gdy:
- Zarówno punkt, jak i jego obraz i środek należą do tej samej linii.
- Przy obrocie o 180 ° środka O uzyskuje się liczbę równą oryginałowi.
- Pociągnięcia początkowej figury są równoległe do ruchów uformowanej figury.
- Sens figury nie zmienia się, zawsze będzie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
Ta transformacja zachodzi w odniesieniu do osi symetrii, gdzie każdy punkt początkowej figury jest powiązany z innym punktem obrazu i znajdują się w tej samej odległości od osi symetrii. Symetria jest osiowa, gdy:
- Segment, który łączy punkt z jego obrazem, jest prostopadły do jego osi symetrii.
- Liczby zmieniają kierunek w stosunku do obrotu lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
- Podczas dzielenia figury linią środkową (osią symetrii) jedna z uzyskanych połówek pokrywa się całkowicie z inną połówką.
Skład
Kompozycja transformacji izometrycznych odnosi się do sukcesywnego stosowania transformacji izometrycznych na tej samej figurze.
Skład tłumaczenia
Skład dwóch tłumaczeń skutkuje kolejnym tłumaczeniem. Po wykonaniu na płaszczyźnie na osi poziomej (x) zmieniają się tylko współrzędne tej osi, a współrzędne osi pionowej (y) pozostają takie same i odwrotnie.
Skład obrotu
Skład dwóch zwojów z tym samym środkiem skutkuje kolejnym zakrętem, który ma ten sam środek i którego amplituda będzie sumą amplitud dwóch zwojów.
Jeśli środek zwojów ma inny środek, nacięcie dwusiecznej dwóch segmentów podobnych punktów będzie środkiem obrotu.
Skład symetrii
W takim przypadku skład będzie zależał od sposobu jego zastosowania:
- Jeśli ta sama symetria zostanie zastosowana dwukrotnie, rezultatem będzie tożsamość.
- Jeśli zostaną zastosowane dwie symetrie w odniesieniu do dwóch równoległych osi, wynikiem będzie translacja, a jej przemieszczenie jest dwa razy większe niż odległość tych osi:
- Jeśli dwie symetrie są stosowane w odniesieniu do dwóch osi, które są cięte w punkcie O (środek), uzyskany zostanie obrót ze środkiem w punkcie O, a jego kąt będzie dwa razy większy od kąta utworzonego przez osie:
