Sukcesje kwadratowe: przykłady, reguły i rozwiązane ćwiczenia
Sekwencje kwadratowe, w kategoriach matematycznych, składają się z sekwencji liczb, które są zgodne z pewną regułą arytmetyczną. Interesujące jest znać tę regułę, aby określić dowolne warunki sekwencji.
Jednym ze sposobów jest określenie różnicy między dwoma kolejnymi terminami i sprawdzenie, czy otrzymana wartość jest zawsze powtarzana. W takim przypadku mówi się, że jest to regularna sukcesja .
Ale jeśli się nie powtórzy, możesz spróbować zbadać różnicę między różnicami i sprawdzić, czy ta wartość jest stała. Jeśli tak, to jest to sekwencja kwadratowa .
Przykłady sukcesji regularnych i sekwencji kwadratowych
Poniższe przykłady pomagają wyjaśnić, co wyjaśniono do tej pory:
Przykład regularnej sukcesji
Niech sekwencja S = {4, 7, 10, 13, 16, ......}
Ta sekwencja, oznaczona przez S, jest nieskończonym zbiorem liczb, w tym przypadku liczb całkowitych.
Można zauważyć, że jest to regularna sukcesja, ponieważ każdy termin jest uzyskiwany przez dodanie 3 do poprzedniego terminu lub elementu:
4
4 + 3 = 7
7+ 3 = 10
10+ 3 = 13
13+ 3 = 16
Innymi słowy: ta sekwencja jest regularna, ponieważ różnica między następnym a poprzednim terminem daje stałą wartość. W podanym przykładzie ta wartość wynosi 3.
Regularne sekwencje, które są uzyskiwane przez dodanie stałej kwoty do poprzedniego terminu, nazywane są również progresjami arytmetycznymi. Różnica - stała - między kolejnymi terminami nazywana jest rozumem i jest oznaczana jako R.
Przykład nieregularnej i kwadratowej sukcesji
Zobacz teraz następującą sekwencję:
S = {2, 6, 12, 20, 30, ....}
Po obliczeniu kolejnych różnic uzyskuje się następujące wartości:
6-2 = 4
12-6 = 6
20-12 = 8
30-20 = 10
Ich różnice nie są stałe, można więc stwierdzić, że jest to sukcesja nieregularna.
Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę zbiór różnic, mamy kolejną sekwencję, która zostanie oznaczona jako S dif :
S dif = {4, 6, 8, 10, ....}
Ta nowa sekwencja jest regularną sekwencją, ponieważ każdy termin jest uzyskiwany przez dodanie stałej wartości R = 2 do poprzedniej. Dlatego możemy stwierdzić, że S jest następstwem kwadratowym.
Ogólna zasada budowania sukcesji kwadratowej
Istnieje ogólna formuła budowania sekwencji kwadratowej:
T n = A ∙ n2 + B ∙ n + C
W tym wzorze T n jest określeniem pozycji n sekwencji. A, B i C są stałymi wartościami, podczas gdy n zmienia się jeden po drugim, to znaczy 1, 2, 3, 4, ...
W sekwencji S poprzedniego przykładu A = 1, B = 1 i C = 0. Z tego wynika, że formuła generująca wszystkie terminy to: T n = n2 + n
To jest:
T1 = 12 + 1 = 2
T2 = 22 + 2 = 6
T3 = 32 + 3 = 12
T 5 = 52 + 5 = 30
T n = n2 + n
Różnica między dwoma kolejnymi terminami sekwencji kwadratowej
T n + 1 - T n = [A ∙ (n + 1) 2 + B ∙ (n + 1) + C] - [A ∙ n2 + B ∙ n + C]
Rozwijanie ekspresji poprzez niezwykły produkt to:
T n + 1 - T n = A 2 n2 + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n2 - B ∙ n - C
Upraszczając, otrzymasz:
T n + 1 - T n = 2 ∙ A ∙ n + A + B
Jest to formuła, która podaje sekwencję różnic S Dif, które można zapisać w ten sposób:
Dif n = A ∙ (2n + 1) + B
Gdzie wyraźnie jest następny termin 2 ∙ Czasami poprzedni. Oznacza to, że przyczyną kolejnych różnic S dif jest: R = 2 ∙ A.
Rozwiązane ćwiczenia sukcesji kwadratowych
Ćwiczenie 1
Niech sekwencja S = {1, 3, 7, 13, 21, ......}. Ustal, czy:
i) Jest regularny lub nie
ii) Jest kwadratowy lub nie
iii) Był kwadratowy, następstwo różnic i ich powód
Odpowiedzi
i) Obliczmy różnicę między następującym terminem a poprzednim:
3-1 = 2
7-3 = 4
13-7 = 6
21-13 = 8
Możemy potwierdzić, że sekwencja S nie jest regularna, ponieważ różnica między kolejnymi terminami nie jest stała.
ii) Kolejność różnic jest regularna, ponieważ różnica między ich pojęciami jest wartością stałą 2. Dlatego oryginalna sekwencja S jest kwadratowa.
iii) Ustaliliśmy już, że S jest kwadratowy, następstwo różnic jest następujące:
S dif = {2, 4, 6, 8, ...}, a jego stosunek wynosi R = 2.
Ćwiczenie 2
Niech sekwencja S = {1, 3, 7, 13, 21, ......} poprzedniego przykładu, w której sprawdzono, że jest kwadratowa. Określ:
i) Formuła określająca ogólny termin T n.
ii) Zweryfikuj warunki trzeci i piąty.
iii) Wartość dziesiątego terminu.
Odpowiedzi
i) Ogólny wzór T n to A ∙ n2 + B ∙ n + C. Następnie pozostaje znać wartości A, B i C.
Kolejność różnic jest właściwa 2. Również dla każdej sekwencji kwadratowej stosunek R wynosi 2 ∙ A, jak pokazano w poprzednich sekcjach.
R = 2 ∙ A = 2, co prowadzi nas do wniosku, że A = 1.
Pierwszy termin sekwencji różnic S Dif wynosi 2 i musi spełniać A ∙ (2n + 1) + B, gdzie n = 1 i A = 1, czyli:
2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B
czyszczenie B otrzymujesz: B = -1
Wtedy pierwszy termin S (n = 1) jest wart 1, to znaczy: 1 = A ∙ 12 + B ∙ 1 + C. Jak już wiemy, że A = 1 i B = -1, podstawianie to:
1 = 1 ∙ 12 + (-1) ∙ 1 + C
Czyszczenie C uzyskujesz jego wartość: C = 1.
Podsumowując:
A = 1, B = -1 i C = 1
Wtedy n-ty termin będzie T n = n2 - n + 1
ii) Trzeci termin T 3 = 32 - 3 + 1 = 7 i jest weryfikowany. Piąta T5 = 52 - 5 + 1 = 21, która również została zweryfikowana.
iii) Dziesiąty termin będzie T10 = 102 - 10 + 1 = 91.
Ćwiczenie 3
Rysunek przedstawia sekwencję pięciu cyfr. Siatka reprezentuje jednostkę długości.
i) Określ kolejność dla obszaru liczb.
ii) Pokaż, że jest to sekwencja kwadratowa.
iii) Znajdź obszar na rysunku # 10 (nie pokazano).
Odpowiedzi
i) Sekwencja S odpowiadająca obszarowi sekwencji cyfr to:
S = {0, 2, 6, 12, 20, ., , , , }
ii) Sukcesja odpowiadająca kolejnym różnicom w warunkach S:
S dif = {2, 4, 6, 8, ., , , , }
Ponieważ różnica między kolejnymi terminami nie jest stała, S nie jest regularną sekwencją. Musimy wiedzieć, czy jest to kwadrat, dla którego ponownie przedstawiamy kolejność różnic, uzyskując:
{2, 2, 2, .......}
Ponieważ wszystkie terminy w sekwencji są powtarzane, potwierdza się, że S jest sekwencją kwadratową.
iii) Sekwencja S dif jest regularna, a jej stosunek R wynosi 2. Używając równania pokazanego powyżej R = 2 ∙ A, pozostaje:
2 = 2 ∙ A, co oznacza, że A = 1.
Drugi termin sekwencji różnic S Dif wynosi 4, a n-ty termin S Dif to
A ∙ (2n + 1) + B.
Drugi termin ma n = 2. Ponadto ustalono już, że A = 1, więc używając poprzedniego równania i zastępując mamy:
4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B
Czyszczenie B otrzymujesz: B = -1.
Wiadomo, że drugi termin S to 2 i że musi on spełniać formułę terminu ogólnego n = 2:
T n = A ∙ n2 + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T 2 = 2
Mam na myśli
2 = 1 ∙ 22 - 1 ∙ 2 + C
Doszliśmy do wniosku, że C = 0, to znaczy, że formuła, która podaje ogólny termin ciągu S, to:
Tn = 1 ∙ n2 - 1 ∙ n +0 = n2 - n
Teraz sprawdzany jest piąty termin:
T5 = 52 - 5 = 20
iii) Rysunek # 10, który nie został tutaj narysowany, będzie miał obszar odpowiadający dziesiątemu terminowi sekwencji S:
T10 = 102-10 = 90
