Wydarzenia uzupełniające: na co składają się i przykłady

Zdarzenia uzupełniające definiowane są jako dowolna grupa wzajemnie wykluczających się zdarzeń, gdzie ich związek jest w stanie całkowicie pokryć przestrzeń próbną lub możliwe przypadki eksperymentowania (są one wyczerpujące).

Jego przecięcie skutkuje pustym zestawem (∅). Suma prawdopodobieństw dwóch komplementarnych zdarzeń jest równa 1. Oznacza to, że 2 zdarzenia o tej charakterystyce całkowicie pokrywają możliwość zdarzeń eksperymentu.

Jakie są wydarzenia uzupełniające?

Bardzo przydatnym przypadkiem ogólnym do zrozumienia tego typu zdarzenia jest rzucie kostką:

Podczas definiowania przestrzeni próbnej wszystkie możliwe przypadki nazwane ofertą eksperymentu. Ten zestaw jest znany jako wszechświat.

Przestrzeń próbna (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Opcje nieprzewidziane w przestrzeni próbkowania nie są częścią możliwości eksperymentu. Na przykład { wychodzi liczba siedem} Ma prawdopodobieństwo równe zero.

Zgodnie z celem eksperymentu, zestawy i podzbiory są definiowane w razie potrzeby. Ustawiona notacja, która ma być stosowana, jest również określana zgodnie z celem lub parametrem, który ma być badany:

O: { Wyjdź z parzystej liczby} = {2, 4, 6}

B: { Wyjdź z liczby nieparzystej } = {1, 3, 5}

W tym przypadku A i B są zdarzeniami uzupełniającymi. Ponieważ oba zestawy wzajemnie się wykluczają (liczba parzysta, która jest nieparzysta, nie może wyjść po kolei), a połączenie tych zestawów obejmuje całą przestrzeń próbki.

Inne możliwe podzbiory w poprzednim przykładzie to:

C : { Wyjdź z liczby pierwszej } = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Zestawy A, B i C są zapisane odpowiednio w notacji opisowej i analitycznej . Dla zbioru D użyto zapisu algebraicznego, opisującego możliwe wyniki odpowiadające eksperymentowi w notacji analitycznej .

W pierwszym przykładzie obserwuje się zdarzenia uzupełniające A i B.

O: { Wyjdź z parzystej liczby} = {2, 4, 6}

B: { Wyjdź z liczby nieparzystej } = {1, 3, 5}

Spełnione są następujące aksjomaty:

AUB = S ; Połączenie dwóch uzupełniających się zdarzeń jest równe przestrzeni próbki
A ∩B = ∅ ; Przecięcie dwóch uzupełniających się zdarzeń jest równe pustemu zestawowi
A '= B ᴧ B' = A; Każdy podzbiór jest równy uzupełnieniu jego odpowiednika
A '∩ A = B' ∩ B = ∅ ; Przecięcie zbioru z jego dopełnieniem jest równe pustemu
A „UA = B” UB = S; Łączenie zestawu z jego dopełnieniem jest równe przestrzeni próbkowania

W statystykach i badaniach probabilistycznych zdarzenia uzupełniające są częścią ogólnej teorii, która jest bardzo powszechna wśród operacji przeprowadzanych w tym obszarze.

Aby dowiedzieć się więcej o wydarzeniach uzupełniających, konieczne jest zrozumienie pewnych terminów, które pomagają zdefiniować je koncepcyjnie.

Jakie są wydarzenia?

Są możliwościami i wydarzeniami wynikającymi z eksperymentów, zdolnymi do zaoferowania wyników w każdej z ich iteracji. Zdarzenia generują dane do zapisania jako elementy zbiorów i podzbiorów, trendy w tych danych są podstawą do badania prawdopodobieństwa.

Przykłady zdarzeń:

Moneta wskazywała twarz
Mecz zakończył się remisem
Chemik zareagował w 1, 73 sekundy
Prędkość przy maksymalnym punkcie wynosiła 30 m / s
Ramka matrycy numer 4

Co to jest dodatek?

W odniesieniu do teorii zbiorów. Uzupełnienie odnosi się do części przestrzeni próbkowania, którą należy dodać do zestawu, tak aby obejmował jej wszechświat. To wszystko, co nie jest częścią całości.

Dobrze znanym sposobem oznaczania dopełnienia w teorii mnogości jest:

A „Uzupełnienie A

Diagram Venna

Jest to schemat graficzny - treść analityczna, szeroko stosowana w operacjach matematycznych obejmujących zbiory, podzbiory i elementy. Każdy zestaw jest reprezentowany przez wielką literę i owalną figurę (ta funkcja nie jest obowiązkowa w jej użyciu), która zawiera każdy z jej elementów.

Zdarzenia komplementarne można zobaczyć bezpośrednio na diagramach Venna, ponieważ ich metoda graficzna pozwala zidentyfikować uzupełnienia odpowiadające każdemu zestawowi.

Po prostu wizualizuj całkowicie środowisko zestawu, pomijając jego granicę i strukturę wewnętrzną, pozwala nadać definicję dopełnieniu badanego zestawu.

Przykłady wydarzeń uzupełniających

Przykłady wydarzeń uzupełniających to sukces i porażka w przypadku, gdy równość nie może istnieć (gra w baseball).

Zmienne boolowskie to zdarzenia uzupełniające: prawda lub fałsz, równie poprawne lub niepoprawne, zamknięte lub otwarte, włączone lub wyłączone.

Ćwiczenia uzupełniające

Ćwiczenie 1

Niech S będzie zbiorem wszechświata zdefiniowanym przez wszystkie liczby naturalne mniejsze lub równe dziesięciu.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Następujące podzbiory S są zdefiniowane

H: {Liczby naturalne mniejsze niż cztery} = {0, 1, 2, 3}

J: {wielokrotność trzech} = {3, 6, 9}

K: {wielokrotność pięciu} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {liczby naturalne większe lub równe czterem} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Określ:

Ile zdarzeń uzupełniających można utworzyć przez powiązanie par podzbiorów S ?

Zgodnie z definicją zdarzeń uzupełniających, pary spełniające wymagania są identyfikowane (wzajemnie się wykluczają i pokrywają przestrzeń próbną podczas łączenia). Następujące pary podzbiorów to zdarzenia uzupełniające :

H i N
J i M
L i K

Ćwiczenie 2

Udowodnij, że: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; Przecięcie między zestawami daje w wyniku wspólne elementy między obydwoma zestawami roboczymi. W ten sposób 5 jest jedynym wspólnym elementem pomiędzy M i K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Ponieważ L i K są komplementarne, trzeci opisany powyżej aksjomat jest spełniony ( każdy podzbiór jest równy dopełnieniu swojego odpowiednika)

Ćwiczenie 3

Zdefiniuj: [(J ∩ H) UN] ”

J ∩ H = {3} ; W sposób homologiczny do pierwszego kroku poprzedniego ćwiczenia.

(J ∩ H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Operacje te są znane jako połączone i są zwykle traktowane diagramem Venna.

[(J ∩ H) UN] ' = {0, 1, 2}; Uzupełnienie połączonej operacji jest zdefiniowane.

Ćwiczenie 4

Udowodnij, że: { [HUN] ∩ [JUM] ∩ [LUK]} '= ∅

Operacja złożona opisana w klawiszach odnosi się do przecięć między połączeniami zdarzeń uzupełniających. W ten sposób przystępujemy do weryfikacji pierwszego aksjomatu ( związek dwóch uzupełniających się zdarzeń jest równy przestrzeni próbki).

[HUN] ∩ [JUM] ∩ [LUK] = S ∩ S ∩ S = S; Połączenie i przecięcie zbioru z samym sobą generuje ten sam zestaw.

Potem; S '= ∅ Z definicji zestawów.