Funkcja iniekcyjna: na co składają się, do czego służą i przykłady z rozwiązanymi ćwiczeniami

Funkcją iniekcji jest cała relacja elementów domeny z pojedynczym elementem kodomainy. Znane również jako funkcja „ jeden do jednego” ( 1–1 ), stanowią część klasyfikacji funkcji w odniesieniu do sposobu, w jaki ich elementy są powiązane.

Element kodu kodowego może być tylko obrazem pojedynczego elementu domeny, w ten sposób nie można powtórzyć wartości zmiennej zależnej.

Wyraźnym przykładem byłoby zgrupowanie mężczyzn z pracą w grupie A oraz w grupie B ze wszystkimi przywódcami. Funkcja F będzie tą, która kojarzy każdego pracownika ze swoim szefem. Jeśli każdy pracownik jest powiązany z innym szefem za pośrednictwem F, to F będzie funkcją iniekcyjną .

Aby uznać funkcję za iniekcyjną, muszą zostać spełnione następujące warunki:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Jest to algebraiczny sposób mówienia. Dla wszystkich x ₁ różnych od x ₂ mamy F (x ₁ ) różny od F (x ₂ ).

Do czego służą funkcje iniekcji?

Iniektywność jest właściwością funkcji ciągłych, ponieważ zapewniają alokację obrazów dla każdego elementu domeny, co jest istotnym aspektem ciągłości funkcji.

Podczas rysowania linii równoległej do osi X na wykresie funkcji iniekcji, tylko wykres powinien być dotykany w jednym punkcie, niezależnie od wysokości lub wielkości Y linii. Jest to graficzny sposób testowania iniekcji funkcji.

Innym sposobem sprawdzenia, czy funkcja jest iniekcyjna, jest wyczyszczenie niezależnej zmiennej X pod względem zmiennej zależnej Y. Następnie należy sprawdzić, czy domena tego nowego wyrażenia zawiera liczby rzeczywiste, w tym samym czasie dla każdej wartości Y Jest tylko jedna wartość X.

Funkcje lub relacje porządku spełniają między innymi zapis F: D _f → C _f

Odczytano F, który przechodzi od D _f do C _f

Gdzie funkcja F odnosi się do domen i zestawów Codomain. Znany również jako zestaw początkowy i zestaw przylotów.

Domena D _f zawiera dozwolone wartości zmiennej niezależnej. Kodomena Cf jest tworzona przez wszystkie wartości dostępne dla zmiennej zależnej. Elementy _Cf związane z D _f są znane jako Zakres Funkcji (R _f ).

Kondycjonowanie funkcji

Czasami funkcja, która nie jest iniekcyjna, może podlegać pewnym warunkom. Te nowe warunki mogą przekształcić go w funkcję iniekcji. Wszystkie rodzaje modyfikacji domeny i domeny kodowej funkcji są ważne, gdy celem jest spełnienie właściwości wtrysku w odpowiedniej relacji.

Przykłady funkcji iniekcji z rozwiązanymi ćwiczeniami

Przykład 1

Niech funkcja F: R → R zostanie zdefiniowana przez linię F (x) = 2x - 3

O: [Wszystkie liczby rzeczywiste]

Zauważa się, że dla każdej wartości domeny znajduje się obraz w kodomenie. Ten obraz jest unikalny, co sprawia, że ​​F jest funkcją iniekcyjną. Dotyczy to wszystkich funkcji liniowych (funkcji, których najwyższy stopień zmiennej wynosi jeden).

Przykład 2

Niech funkcja F: R → R zostanie zdefiniowana przez F (x) = x2 +1

Podczas rysowania linii poziomej obserwuje się, że wykres znajduje się więcej niż jeden raz. Z tego powodu funkcja F nie jest wstrzykiwana, dopóki R → R jest zdefiniowane

Kontynuujemy warunkowanie domeny funkcji:

F: R + U {0} → R

Teraz zmienna niezależna nie przyjmuje wartości ujemnych, dzięki czemu unika się powtarzania wyników, a funkcja F: R + U {0} → R zdefiniowana przez F (x) = x2 + 1 jest iniekcyjna .

Innym homologicznym rozwiązaniem byłoby wyznaczenie domeny od lewej, to znaczy ograniczenie funkcji tylko do przyjmowania wartości ujemnych i zerowych.

Kontynuujemy warunkowanie domeny funkcji

F: R- U {0} → R

Teraz zmienna niezależna nie przyjmuje wartości ujemnych, co pozwala uniknąć powtarzających się wyników, a funkcja F: R- U {0} → R zdefiniowana przez F (x) = x2 + 1 jest iniekcyjna .

Funkcje trygonometryczne zachowują się podobnie do fal, gdzie bardzo często występuje powtarzanie wartości w zmiennej zależnej. Poprzez specyficzne uwarunkowania, oparte na wcześniejszej wiedzy o tych funkcjach, możemy ograniczyć domenę, aby spełnić warunki iniekcji.

Przykład 3

Niech funkcja F będzie: [- π / 2, π / 2 ] → R zdefiniowana przez F (x) = Cos (x)

W przedziale [- π / 2 → π / 2 ] funkcja cosinus zmienia swoje wyniki między zerem a jednym.

Jak pokazano na wykresie. Zacznij od zera przy x = - π / 2, a następnie osiągnij maksimum przy zera. Po x = 0 wartości zaczynają się powtarzać, aż do zera przy x = π / 2. W ten sposób wiadomo, że F (x) = Cos (x) nie jest wtryskowy dla przedziału [- π / 2, π / 2 ] .

Badając wykres funkcji F (x) = Cos (x), obserwujemy przedziały, w których zachowanie krzywej dostosowuje się do kryteriów iniekcji. Jak na przykład interwał

[0, π ]

Gdzie funkcja zmienia wyniki od 1 do -1, bez powtarzania żadnej wartości w zmiennej zależnej.

W ten sposób funkcja funkcyjna F: [0, π ] → R zdefiniowane przez F (x) = Cos (x). To jest wstrzykiwane

Istnieją funkcje nieliniowe, w których przedstawiono podobne przypadki. W przypadku wyrażeń typu racjonalnego, gdzie mianownik zawiera co najmniej jedną zmienną, istnieją ograniczenia uniemożliwiające wstrzyknięcie relacji.

Przykład 4

Niech funkcja F: R → R zostanie zdefiniowana przez F (x) = 10 / x

Funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych, z wyjątkiem {0}, który ma nieokreśloność (Nie można podzielić przez zero) .

Gdy zbliża się do zera po lewej, zmienna zależna przyjmuje bardzo duże wartości ujemne, a bezpośrednio po zera wartości zmiennej zależnej przyjmują duże wartości dodatnie.

To zakłócenie powoduje wyrażenie F: R → R zdefiniowane przez F (x) = 10 / x

Nie bądź wstrzykiwany.

Jak widać w poprzednich przykładach, wyłączenie wartości w domenie służy do „naprawy” tych niezdecydowań. Kontynuujemy wyłączanie zera domeny, pozostawiając zestawy wyjazdu i przyjazdu określone w następujący sposób:

R - {0} → R

Gdzie R - {0} symbolizuje reale, z wyjątkiem zestawu, którego jedynym elementem jest zero.

W ten sposób wyrażenie F: R - {0} → R zdefiniowane przez F (x) = 10 / x jest wstrzykiwane.

Przykład 5

Niech funkcja F będzie: [0, π ] → R zdefiniowana przez F (x) = Sen (x)

W przedziale [0, π ] funkcja sinus zmienia swoje wyniki między zerem a jednym.

Jak pokazano na wykresie. Zacznij od zera przy x = 0, a następnie osiągnij maksimum przy x = π / 2. Po x = π / 2 wartości zaczynają się powtarzać, aż do zera przy x = π. W ten sposób wiadomo, że F (x) = Sen (x) nie jest wstrzykiwany dla przedziału [0, π ] .

Podczas badania wykresu funkcji F (x) = Sen (x) obserwujemy przedziały, w których zachowanie krzywej dostosowuje się do kryteriów iniekcji. Jak na przykład przedział [ π / 2 , 3π / 2 ]

Gdzie funkcja zmienia wyniki od 1 do -1, bez powtarzania żadnej wartości w zmiennej zależnej.

W ten sposób funkcja F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R zdefiniowane przez F (x) = Sen (x). To jest wstrzykiwane

Przykład 6

Sprawdź, czy funkcja F: [0, ∞) → R zdefiniowana przez F (x) = 3x2 jest wstrzykiwana.

Przy tej okazji domena ekspresji jest już ograniczona. Zauważono również, że wartości zmiennej zależnej nie są powtarzane w tym przedziale.

Dlatego można stwierdzić, że F: [0, ∞) → R zdefiniowane przez F (x) = 3x2 jest wstrzykiwane

Przykład 7

Określ, która z poniższych funkcji jest

1. To jest wstrzykiwane. Powiązane elementy zmiennej kodowej są unikalne dla każdej wartości zmiennej niezależnej.
2. To nie jest wstrzykiwane. Istnieją elementy kodomany związane z więcej niż jednym elementem zestawu startowego.
3. To jest wstrzykiwane
4. To nie jest wstrzykiwane

Ćwiczenia proponowane dla klasy / domu

Sprawdź, czy następujące funkcje są wstrzykiwane:

F: [0, ∞) → R zdefiniowane przez F (x) = (x + 3) 2

F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R zdefiniowane przez F (x) = Tan (x)

F: [- π , π ] → R zdefiniowane przez F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R zdefiniowane przez linię F (x) = 7x + 2