Funkcja bijatyki: z czego składa się, jak to się robi, przykłady i ćwiczenia

Funkcja bijective to taka, która spełnia podwójny warunek bycia iniekcyjnym i nadprzyrodzonym . Oznacza to, że wszystkie elementy domeny mają pojedynczy obraz w kodomenie, a z kolei kodomena jest równa zakresowi funkcji ( _Rf ).

Jest spełniony, gdy rozważamy relację jeden-do-jednego między elementami domeny i kodomainą. Prostym przykładem jest funkcja F: R → R zdefiniowana przez linię F (x) = x

Zauważa się, że dla każdej wartości domeny lub zestawu odejścia (oba terminy mają jednakowe zastosowanie) mamy pojedynczy obraz w zestawie kodowym lub zestawie przybycia. Ponadto nie ma elementu kodomainy, który nie jest obrazem.

W ten sposób F: R → R zdefiniowany przez linię F (x) = x jest bijective

Jak powstaje funkcja bijective?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, konieczne jest jasne określenie pojęć związanych z iniekcyjnością i nadpłynnością funkcji, a także kryteriów warunkowania funkcji w celu dostosowania ich do wymagań.

Wstrzykiwalność funkcji

Funkcja jest wstrzykiwana, gdy każdy z elementów jej domeny jest powiązany z pojedynczym elementem kodu-domeny. Element kodu kodowego może być tylko obrazem pojedynczego elementu domeny, w ten sposób nie można powtórzyć wartości zmiennej zależnej.

Aby uznać funkcję za iniekcyjną, muszą zostać spełnione następujące warunki:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Nadmierna aktywność funkcji

Funkcja jest sklasyfikowana jako nadprzyrodzona, jeśli każdy element jej kodomainy jest obrazem co najmniej jednego elementu domeny.

Aby uznać projekt za zachmurzony, muszą zostać spełnione następujące warunki:

Niech F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Jest to algebraiczny sposób na ustalenie, że dla całego „b” należącego do C _f istnieje „a”, które należy do D _{f w} taki sposób, że funkcja oceniana w „a” jest równa „b”.

Kondycjonowanie funkcji

Czasami funkcja, która nie jest bijective, może podlegać pewnym warunkom. Te nowe warunki mogą przekształcić ją w funkcję bijective. Wszystkie rodzaje modyfikacji domeny i domeny kodowej funkcji są ważne, gdzie celem jest zachowanie właściwości iniekcji i nadaktywności w odpowiedniej relacji.

Przykłady: rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Niech funkcja F: R → R zostanie zdefiniowana przez linię F (x) = 5x +1

O: [Wszystkie liczby rzeczywiste]

Zauważa się, że dla każdej wartości domeny znajduje się obraz w kodomenie. Ten obraz jest unikalny, co sprawia, że F jest funkcją iniekcyjną . W ten sam sposób obserwujemy, że kodomena funkcji jest równa jej randze. Tym samym spełniając warunek nadmiernej aktywności.

Będąc jednocześnie wstrzykiwanym i nadprzyrodzonym, możemy to stwierdzić

F: R → R zdefiniowane przez linię F (x) = 5x +1 jest funkcją bijective.

Dotyczy to wszystkich funkcji liniowych (funkcji, których najwyższy stopień zmiennej wynosi jeden).

Ćwiczenie 2

Niech funkcja F: R → R zostanie zdefiniowana przez F (x) = 3x2 - 2

Podczas rysowania linii poziomej obserwuje się, że wykres znajduje się więcej niż jeden raz. Z tego powodu funkcja F nie jest wstrzykiwana i dlatego nie będzie bijective, o ile jest zdefiniowana w R → R

W ten sam sposób istnieją wartości kodomainy, które nie są obrazami żadnego elementu domeny. Z tego powodu funkcja nie jest nadprzyrodzona, co zasługuje również na warunkowanie zestawu przybycia.

Kontynuujemy warunkowanie domeny i kodomainy funkcji

F: [0, ∞] → [- 2, ∞ ]

Gdzie zaobserwowano, że nowa domena obejmuje wartości od zera do dodatniej nieskończoności. Unikanie powtarzania wartości, które wpływają na iniekcyjność.

Zmodyfikowano także kodomainę, licząc od „-2” do nieskończoności dodatniej, eliminując z kodomainy wartości, które nie odpowiadały żadnemu elementowi domeny

W ten sposób można zapewnić, że F : [0, ∞] → [- 2, ∞ ] zdefiniowane przez F (x) = 3x2 - 2

To jest bijective

Ćwiczenie 3

Niech funkcja F będzie: R → R zdefiniowana przez F (x) = Sen (x)

W przedziale [- ∞, + ∞ ] funkcja sinus zmienia swoje wyniki między zerem a jednym.

Funkcja F nie odpowiada kryteriom iniekcji i sobreyectividad, ponieważ wartości zmiennej zależnej są powtarzane w odstępach π. Dodatkowo, terminy kodomainy poza przedziałem [-1, 1] nie są obrazami żadnego elementu domeny.

Badając wykres funkcji F (x) = Sen (x), obserwujemy przedziały, w których zachowanie krzywej spełnia kryteria bijectivity . Jak na przykład przedział D _f = [ π / 2 , 3π / 2 ] dla domeny. I C _f = [-1, 1] dla kodomainy.

Gdzie funkcja zmienia wyniki od 1 do -1, bez powtarzania żadnej wartości w zmiennej zależnej. W tym samym czasie kodomena jest równa wartościom przyjętym przez wyrażenie Sen (x)

W ten sposób funkcja F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → [-1, 1] zdefiniowane przez F (x) = Sen (x). To jest bijective

Ćwiczenie 4

Określ niezbędne warunki dla D _f i C _f . Więc wyrażenie

F (x) = -x2 jest bijective .

Powtarzanie wyników obserwuje się, gdy zmienna przyjmuje przeciwne wartości:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Domena jest uwarunkowana, ograniczając ją do prawej strony linii rzeczywistej.

D _f = [0, + ∞ ]

W ten sam sposób obserwuje się, że zasięg tej funkcji to przedział [- ∞ , 0], który działając jako kodomena, spełnia warunki nadmiernej aktywności.

W ten sposób możemy to stwierdzić

Wyrażenie F: [0, + ∞ ] → [- ∞ , 0] zdefiniowane przez F (x) = -x2 To jest bijective