Przestrzeń wektorowa: baza i wymiar, aksjomaty, właściwości, przykłady

Przestrzeń wektorowa to niepusty zbiór V = { u , v , w , ......}, którego elementami są wektory. Dzięki nim przeprowadzane są ważne operacje, spośród których wyróżniają się następujące:

- Suma między dwoma wektorami u + v, która powoduje z, która należy do zbioru V.

- Mnożenie liczby rzeczywistej α przez wektor v : α v, który daje inny wektor i który należy do V.

Aby oznaczyć wektor, używamy pogrubienia ( v jest wektorem), a dla skalarów lub liczb greckich (α jest liczbą).

Aksjomaty i właściwości

Aby być przestrzenią wektorową, musi zostać spełnionych osiem następujących aksjomatów:

1-przemienność: u + v = v + u

2-Transitivity: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Istnienie wektora zerowego 0 takiego, że 0 + v = v

4 - Istnienie przeciwieństwa: przeciwieństwem v jest (- v ), ponieważ v + (- v ) = 0

5-Dystrybucja produktu w odniesieniu do sumy wektorów: α ( u + v ) = α u + αv

6-Dystrybucja produktu w odniesieniu do sumy skalarnej: (α + β) v = α v + β v

7-asocjatywność iloczynu skalarów: α (β v ) = (α β) v

8-Liczba 1 jest elementem neutralnym, ponieważ: 1 v = v

Przykłady przestrzeni wektorowych

Przykład 1

Wektory w płaszczyźnie (R²) są przykładem przestrzeni wektorowej. Wektor w płaszczyźnie jest obiektem geometrycznym, który ma wielkość i kierunek. Jest on reprezentowany przez zorientowany segment, który należy do wspomnianej płaszczyzny i ma rozmiar proporcjonalny do jego wielkości.

Suma dwóch wektorów w płaszczyźnie może być zdefiniowana jako operacja geometryczna translacji drugiego wektora po pierwszej. Wynik sumy jest zorientowanym segmentem, który zaczyna się od początku pierwszego i osiąga wierzchołek drugiego.

Na rysunku można zauważyć, że suma w R² jest przemienna.

Iloczyn liczby α jest również definiowany przez wektor. Jeśli liczba jest dodatnia, oryginalny kierunek wektora jest zachowywany, a rozmiar jest α razy oryginalny wektor. Jeśli liczba jest ujemna, adres jest odwrotny, a rozmiar wynikowego wektora jest wartością bezwzględną liczby.

Wektor przeciwny do wektora v jest - v = (- 1) v .

Wektor zerowy jest punktem w płaszczyźnie R², a liczba zerowa dla wektora daje wektor zerowy.

Wszystko, co zostało powiedziane, zilustrowano na rysunku 2.

Przykład 2

Zbiór P wszystkich wielomianów o stopniu mniejszym lub równym dwóm, łącznie ze stopniem zerowym, tworzy zbiór, który spełnia wszystkie aksjomaty przestrzeni wektorowej.

Niech wielomian P (x) = a x² + bx + c i Q (x) = d x² + ex + f

Suma dwóch wielomianów jest zdefiniowana: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Suma wielomianów należących do zbioru P jest przemienna i przechodnia.

Wielomian zerowy należący do zbioru P jest tym, który ma wszystkie swoje współczynniki równe zero:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Suma skalarna α jest zdefiniowana przez wielomian taki jak: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Przeciwny wielomian P (x) to -P (x) = (-1) P (x).

Z powyższego wynika, że ​​zbiór P wszystkich wielomianów o stopniu mniejszym lub równym dwóm jest przestrzenią wektorową.

Przykład 3

Zbiór M wszystkich macierzy m wierszy xn kolumn, których elementy są liczbami rzeczywistymi, tworzą rzeczywistą przestrzeń wektorową, w odniesieniu do operacji dodawania macierzy i iloczynu liczby przez macierz.

Przykład 4

Zbiór F funkcji ciągłych zmiennej rzeczywistej tworzy przestrzeń wektorową, ponieważ możliwe jest zdefiniowanie sumy dwóch funkcji, mnożenia skalara przez funkcję, funkcję zerową i funkcję symetryczną. Spełniają również aksjomaty charakteryzujące przestrzeń wektorową.

Baza i wymiar przestrzeni wektorowej

Baza

Podstawa przestrzeni wektorowej jest zdefiniowana jako zbiór liniowo niezależnych wektorów, tak że każdy wektor tej przestrzeni wektorowej może być generowany z ich kombinacji liniowej.

Aby połączyć liniowo dwa lub więcej wektorów, należy pomnożyć wektory przez jakiś skalar, a następnie dodać je wektorowo.

Na przykład podstawa kanoniczna zdefiniowana przez wektory jednostkowe (o wielkości 1) i, j, k jest używana w przestrzeni wektorowej o trzech wymiarach utworzonej przez R³.

Gdzie i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Są to wektory kartezjańskie lub kanoniczne.

Każdy wektor V należący do R3 jest zapisywany jako V = a i + bj + ck, która jest liniową kombinacją wektorów bazowych i, j, k . Skalary lub liczby a, b, c są znane jako kartezjańskie składniki V.

Mówi się również, że wektory bazowe przestrzeni wektorowej tworzą zestaw generatorów przestrzeni wektorowej.

Wymiar

Wymiar przestrzeni wektorowej jest liczbą kardynalną podstawy wektora dla wspomnianej przestrzeni; to jest liczba wektorów, które tworzą wspomnianą bazę.

Ten kardynalny jest maksymalną liczbą liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni wektorowej, a jednocześnie minimalną liczbą wektorów, które tworzą zestaw generatorów wspomnianej przestrzeni.

Podstawy przestrzeni wektorowej nie są unikalne, ale wszystkie podstawy tej samej przestrzeni wektorowej mają ten sam wymiar.

Podprzestrzeń wektorowa

Wektorowa podprzestrzeń S przestrzeni wektorowej V jest podzbiorem V, w którym te same operacje są zdefiniowane jak w V i spełniają wszystkie aksjomaty przestrzeni wektorowej. Dlatego podprzestrzeń S będzie również przestrzenią wektorową.

Przykładem podprzestrzeni wektorowej są wektory należące do płaszczyzny XY. Ta podprzestrzeń jest podzbiorem przestrzeni wektorowej o wymiarach większej niż zbiór wektorów należących do trójwymiarowej przestrzeni XYZ.

Innym przykładem podprzestrzeni wektorowej S1 przestrzeni wektorowej S utworzonej przez wszystkie macierze 2 × 2 z elementami rzeczywistymi jest ta zdefiniowana poniżej:

Zamiast tego S2 zdefiniowane poniżej, chociaż jest podzbiorem S, nie tworzy podprzestrzeni wektorowej:

Rozwiązane ćwiczenia

-Wykonanie 1

Niech wektory V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) i V3 = (0, 0, 3) w R3.

a) Udowodnij, że są one liniowo niezależne.

b) Udowodnij, że tworzą podstawę w R3, ponieważ każde potrójne (x, y, z) można zapisać jako kombinację liniową V1, V2, V3.

c) Znajdź składniki potrójnego V = (-3, 5, 4) w podstawie V1, V2, V3 .

Rozwiązanie

Kryterium wykazania niezależności liniowej polega na ustanowieniu następującego zestawu równań w α, β i γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

W przypadku, gdy jedynym rozwiązaniem tego systemu jest α = β = γ = 0, wektory są liniowo niezależne, w przeciwnym razie nie są.

Aby uzyskać wartości α, β i γ proponujemy następujący układ równań:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Pierwszy prowadzi do α = 0, drugi α = -2 ∙ β, ale jako α = 0, a następnie β = 0. Trzecie równanie oznacza, że ​​γ = (- 1/3) β, ale jako β = 0, a następnie γ = 0.

Odpowiedz na

Stwierdzono, że jest to zbiór liniowo niezależnych wektorów w R3.

Odpowiedź b

Teraz napiszmy potrójne (x, y, z) jako kombinację liniową V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Gdzie masz:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Pierwszy wskazuje α = x, drugi β = (yx) / 2 i trzeci γ = (z- i / 2 + x / 2) / 3. W ten sposób znaleźliśmy generatory α, β i γ dowolnego potrójnego R³

Odpowiedź c

Znajdźmy składniki potrójnego V = (-3, 5, 4) w podstawie V1, V2, V3 .

Zastępujemy odpowiednie wartości w wyrażeniach znalezionych wcześniej dla generatorów.

W tym przypadku mamy: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

To znaczy:

(-3, 5, 4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Wreszcie:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Doszliśmy do wniosku, że V1, V2, V3 tworzą podstawę w przestrzeni wektorowej R³ wymiaru 3.

- Ćwiczenie 2

Wyraź wielomian P (t) = t² + 4t -3 jako kombinację liniową P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t i P3 (t) = t + 3.

Rozwiązanie

P (t) = x P1 (t) + i P2 (t) + z P3 (t)

gdzie muszą być określone liczby x, y, z.

Mnożąc i grupując terminy w tym samym stopniu, co:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Co prowadzi nas do następującego układu równań:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Rozwiązaniami tego układu równań są:

x = -3, y = 2, z = 4.

To znaczy:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

- Ćwiczenie 3

Pokaż, że wektory v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) i v3 = (2, 1, -1, 1) R⁴ są liniowo niezależne.

Rozwiązanie

Liniowo łączymy trzy wektory v1, v2, v3 i żądamy, aby kombinacja dodała zerowy element R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Mam na myśli

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Prowadzi nas to do następującego układu równań:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Odejmując pierwszą i czwartą mamy: -a + c = 0, co oznacza a = c.

Ale jeśli spojrzysz na trzecie równanie, mamy a = -c. Jedynym sposobem osiągnięcia a = c = (- c) jest to, że c wynosi 0, a zatem a będzie równe 0.

a = c = 0

Jeśli zastąpimy ten wynik w pierwszym równaniu, wyciągniemy wniosek, że b = 0.

Wreszcie a = b = c = 0, więc możemy stwierdzić, że wektory v1, v2 i v3 są liniowo niezależne.