Dyskretna transformacja Fouriera: właściwości, zastosowania i przykłady
Dyskretna transformata Fouriera jest metodą numeryczną używaną do definiowania próbek odnoszących się do częstotliwości widmowych, które tworzą sygnał. Badanie funkcji okresowych w parametrach zamkniętych, w wyniku czego powstaje inny dyskretny sygnał.
W celu uzyskania dyskretnej transformaty Fouriera N punktów na sygnale dyskretnym muszą zostać spełnione następujące 2 warunki w sekwencji x [n]
x [n] = 0 n N - 1
Spełniając te warunki, dyskretna transformata Fouriera może być zdefiniowana jako
Dyskretna transformata Fouriera może być zdefiniowana jako próbkowanie w N punktach transformacji Fouriera.
Interpretacja dyskretnej transformaty Fouriera
Istnieją 2 punkty widzenia, z których można interpretować wyniki uzyskane w sekwencji x s [n] poprzez dyskretną transformatę Fouriera.
-Pierwszy odpowiada współczynnikom widmowym, znanym już z szeregu Fouriera. Obserwuje się to w dyskretnych sygnałach okresowych, przy czym próbki pokrywają się z sekwencją x s [n].
- Drugi dotyczy widma dyskretnego sygnału aperiodycznego z próbkami odpowiadającymi sekwencji x s [n].
Transformacja dyskretna jest przybliżeniem widma oryginalnego sygnału analogowego. Jego faza zależy od czasów próbkowania, a jego wielkość zależy od interwału próbkowania.
Właściwości
Podstawy algebraiczne struktury tworzą logiczne podstawy następujących sekcji.
Liniowość
C. S n → C. F [ Sk ]; Jeśli sekwencja zostanie pomnożona przez skalar, jej transformacja również będzie.
Tn + Vn = F [ Tk ] + F [ Vk ]; Transformacja sumy jest równa sumie transformacji.
Dwoistość
F [ Sn ] → (1 / N) S -k; Jeśli transformowane wyrażenie jest przeliczane przez dyskretną transformację Fouriera, uzyskuje się to samo wyrażenie, skalując w N i odwrócone w stosunku do osi pionowej.
Konwolucja
Podążając za podobnymi celami, w transformacie Laplace'a splot funkcji odnosi się do produktu wśród jego transformacji Fouriera. Konwolucja dotyczy również dyskretnych czasów i jest odpowiedzialna za wiele nowoczesnych procedur.
X n * R n → F [X n ] .F [R n ]; Transformacja splotu jest równa iloczynowi transformacji.
X n . Rn → F [X n ] * F [R n ]; Transformacja produktu jest równa splotowi transformacji.
Przemieszczenie
X nm → F [X k ] e -i (2π / N) km; Jeśli sekwencja jest opóźniona wm próbkach, jej efekt w transformacji dyskretnej będzie modyfikacją kąta zdefiniowanego przez (2π / N) km.
Sprzężona symetria
X t [-k] = X * t [k] = X t [N - K]
Modulacja
W-nm N. x [n] ↔ X t [k - m]
Produkt
x [n] i [n] ↔ (1 / N) X t [k] * Y t [k]
Symetria
X [-n] ↔ X t [-k] = X * t [k]
Koniugat
x * [n] ↔ X * t [-k]
Równanie Parsevala
Podobieństwa i różnice w transformacji Fouriera
W odniesieniu do konwencjonalnej transformaty Fouriera ma ona kilka podobieństw i różnic. Transformata Fouriera przekształca sekwencję w linię ciągłą. W ten sposób mówi się, że wynik zmiennej Fouriera jest złożoną funkcją zmiennej rzeczywistej.
Natomiast dyskretna transformata Fouriera odbiera sygnał dyskretny i przekształca go w inny dyskretny sygnał, to znaczy sekwencję.
Do czego służy dyskretna transformata Fouriera?
Służą głównie do znacznego uproszczenia równań, przekształcając wyrażenia pochodne w elementy mocy. Oznaczanie wyrażeń różniczkowych w postaci całkowalnych wielomianów.
W optymalizacji modulacja i modelowanie wyników działa jak standaryzowane wyrażenie, będące częstym źródłem inżynierii po kilku pokoleniach.
Historia
Ta koncepcja matematyczna została przedstawiona przez Josepha B. Fouriera w roku 1811, podczas opracowywania traktatu o propagacji ciepła. Został szybko przyjęty przez różne dziedziny nauki i inżynierii.
Został on ustanowiony jako główne narzędzie pracy w badaniu równań różniczkowych cząstkowych, nawet porównując je ze stosunkiem roboczym między transformatą Laplace'a a równaniami różniczkowymi zwyczajnymi.
Każda funkcja, która może pracować z transformatą Fouriera, musi mieć zerowość poza zdefiniowanym parametrem.
Dyskretna transformacja Fouriera i jej odwrotność
Transformację dyskretną uzyskuje się poprzez wyrażenie:
Po podaniu dyskretnej sekwencji X [n]
Odwrotność dyskretnej transformaty Fouriera jest zdefiniowana przez wyrażenie:
Po osiągnięciu transformacji dyskretnej zdefiniuj sekwencję w dziedzinie czasu X [n].
Okna
Proces parametryzacji odpowiadający dyskretnej transformacji Fouriera polega na okienkowaniu. Aby pracować z transformacją, musimy ograniczyć sekwencję w czasie. W wielu przypadkach dane sygnały nie mają takich ograniczeń.
Sekwencja, która nie spełnia kryteriów rozmiaru, aby zastosować ją do transformacji dyskretnej, można pomnożyć przez funkcję „okna” V [n], określając zachowanie sekwencji w kontrolowanym parametrze.
X [n] V [n]
Szerokość widma będzie zależna od szerokości okna. Wraz ze wzrostem szerokości okna obliczona transformacja będzie węższa.
Aplikacje
Obliczanie podstawowego rozwiązania
Dyskretna transformata Fouriera jest potężnym narzędziem do badania dyskretnych sekwencji.
Dyskretna transformata Fouriera przekształca ciągłą funkcję zmiennej w dyskretną transformację zmiennej.
Problem Cauchy'ego dla równania ciepła przedstawia wspólne pole zastosowania dyskretnej transformaty Fouriera . Gdzie generowana jest funkcja ciepła rdzenia lub rdzeń Dirichlet, która dotyczy wartości próbek w określonym parametrze.
Teoria sygnału
Ogólny powód zastosowania dyskretnej transformaty Fouriera w tej gałęzi wynika głównie z charakterystycznej dekompozycji sygnału jako nieskończonej superpozycji sygnałów łatwiejszych do leczenia.
Może to być fala dźwiękowa lub fala elektromagnetyczna, dyskretna transformata Fouriera wyraża ją w superpozycji prostych fal. Ta reprezentacja jest dość częsta w elektrotechnice.
Seria Fouriera
Są one szeregowo zdefiniowane w kategoriach kosinusów i piersi. Służą do ułatwienia pracy z ogólnymi funkcjami okresowymi. Po zastosowaniu są one częścią technik rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych i zwykłych.
Szeregi Fouriera są nawet bardziej ogólne niż szereg Taylora, ponieważ rozwijają okresowe funkcje nieciągłe, które nie mają reprezentacji w szeregu Taylora.
Inne formy serii Fouriera
Aby analitycznie zrozumieć transformację Fouriera, ważne jest dokonanie przeglądu innych sposobów, w jakie można znaleźć szereg Fouriera, dopóki nie będziemy mogli zdefiniować szeregu Fouriera w jego złożonej notacji.
- Seria Fouriera dla funkcji okresu 2L:
Wielokrotnie konieczne jest dostosowanie struktury szeregu Fouriera do funkcji okresowych, których okres wynosi p = 2L> 0 w przedziale [-L, L].
- Szereg Fouriera w funkcjach nieparzystych i parzystych
Rozważany jest przedział [-π, π], który oferuje zalety przy korzystaniu z symetrycznych charakterystyk funkcji.
Jeśli f jest równe, szereg Fouriera jest ustalany jako szereg Cosinusów.
Jeśli f jest nieparzyste, szereg Fouriera jest ustalany jako szereg sinusów.
-Kompletna notacja szeregu Fouriera
Jeśli masz funkcję f (t), która spełnia wszystkie wymagania szeregu Fouriera, możliwe jest oznaczenie jej w przedziale [-t, t] za pomocą złożonego zapisu:
Przykłady
W odniesieniu do obliczenia podstawowego rozwiązania przedstawiono następujące przykłady:
Równanie Laplace'a
Równanie ciepła
Równanie Schrödingera
Równanie fali
Z drugiej strony, są przykłady zastosowania dyskretnej transformaty Fouriera w dziedzinie teorii sygnałów:
-Problemy identyfikacji systemu. Ustalony fyg
-Problem z konsekwencją sygnału wyjściowego
-Problemy z filtrowaniem sygnału
Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Oblicz dyskretną transformację Fouriera dla następnej sekwencji.
Możesz zdefiniować TDF x [n] jako:
Xt [k] = {4, -j2, 0, j2} dla k = 0, 1, 2, 3
Ćwiczenie 2
Chcemy określić, za pomocą algorytmu cyfrowego, sygnał widmowy zdefiniowany przez wyrażenie x (t) = et. W przypadku, gdy współczynnik żądającej maksymalnej częstotliwości wynosi f m = 1 Hz. Harmoniczna odpowiada f = 0, 3 Hz Błąd jest ograniczony do mniej niż 5%. Oblicz fs, D i N.
Biorąc pod uwagę twierdzenie o próbkowaniu f s = 2f m = 2 Hz
Wybrana jest rozdzielczość częstotliwościowa f 0 = 0, 1 Hz, z której otrzymujemy D = 1 / 0, 1 = 10s
0, 3 Hz to częstotliwość odpowiadająca indeksowi k = 3, gdzie N = 3 × 8 = 24 próbki. Wskazując, że fs = N / D = 24/10 = 2, 4> 2
Ponieważ celem jest osiągnięcie najniższej możliwej wartości N, następujące wartości można uznać za rozwiązanie:
f 0 = 0, 3 Hz
D = 1 / 0, 3 = 3, 33s
k = 1
N = 1 x 8 = 8
