Ile rozwiązań ma równanie kwadratowe?
Równanie kwadratowe lub równanie drugiego stopnia mogą mieć zerowe, jedno lub dwa rzeczywiste rozwiązania, w zależności od współczynników, które pojawiają się we wspomnianym równaniu.
Jeśli pracujesz nad liczbami złożonymi, możesz powiedzieć, że każde równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
Rozpoczęcie równania kwadratowego jest równaniem postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a x jest zmienną.
Mówi się, że x1 jest rozwiązaniem poprzedniego równania kwadratowego, jeśli zastąpienie x przez x1 spełnia równanie, to znaczy, jeśli a (x1) ² + b (x1) + c = 0.
Jeśli masz na przykład równanie x²-4x + 4 = 0, to x1 = 2 jest rozwiązaniem, ponieważ (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.
Wręcz przeciwnie, jeśli x2 = 0 jest podstawione, otrzymujemy (0) ²-4 (0) + 4 = 4, a 4 ≠ 0 to x2 = 0 nie jest rozwiązaniem równania kwadratowego.
Rozwiązania równania kwadratowego
Liczbę rozwiązań równania kwadratowego można podzielić na dwa przypadki, które są:
1.- W liczbach rzeczywistych
Podczas pracy z liczbami rzeczywistymi równania kwadratowe mogą mieć:
- Rozwiązania: to znaczy, że nie ma liczby rzeczywistej, która spełniałaby równanie kwadratowe. Na przykład równanie podane równaniem x² + 1 = 0 nie ma takiej liczby rzeczywistej, która spełniałaby to równanie, ponieważ oba x² są większe lub równe zero, a 1 jest większe niż zero, tak że jego suma będzie większa ścisłe zero.
- Powtarzane rozwiązanie: istnieje jedna rzeczywista wartość, która spełnia równanie kwadratowe. Na przykład jedynym rozwiązaniem równania x²-4x + 4 = 0 jest x1 = 2.
-Dwa różne rozwiązania: istnieją dwie wartości, które spełniają równanie kwadratowe. Na przykład x² + x-2 = 0 ma dwa różne rozwiązania, które są x1 = 1 i x2 = -2.
2.- W liczbach zespolonych
Podczas pracy z liczbami zespolonymi równania kwadratowe zawsze mają dwa rozwiązania, które są z1 i z2, gdzie z2 jest koniugatem z1. Ponadto można je podzielić na:
-Kompleksy: rozwiązania mają postać z = p ± qi, gdzie p i q są liczbami rzeczywistymi. Ten przypadek odpowiada pierwszemu przypadkowi poprzedniej listy.
Czyste kompleksy: kiedy rzeczywista część rozwiązania jest równa zero, tj. Rozwiązanie ma postać z = ± qi, gdzie q jest liczbą rzeczywistą. Ten przypadek odpowiada pierwszemu przypadkowi poprzedniej listy.
-Kompleksy z częścią urojoną równą zero: jest wtedy, gdy złożona część rozwiązania jest równa zero, tj. Rozwiązanie jest liczbą rzeczywistą. Ten przypadek odpowiada dwóm ostatnim przypadkom poprzedniej listy.
Jak obliczane są rozwiązania równania kwadratowego?
Aby obliczyć rozwiązania równania kwadratowego, stosuje się wzór znany jako „resolver”, który mówi, że rozwiązania równania ax² + bx + c = 0 są wyrażane przez wyrażenie następującego obrazu:
Ilość, która pojawia się wewnątrz pierwiastka kwadratowego, nazywana jest wyróżnikiem równania kwadratowego i jest oznaczona literą „d”.
Równanie kwadratowe będzie miało:
-Dwa prawdziwe rozwiązania, jeśli i tylko wtedy, d> 0.
- Prawdziwe rozwiązanie powtórzone, jeśli i tylko wtedy, gdy d = 0.
-Pięć rzeczywistych rozwiązań (lub dwóch złożonych rozwiązań), jeśli i tylko wtedy, d <0.
Przykłady:
- Rozwiązania równania x² + x-2 = 0 są podane przez:
-Równanie x²-4x + 4 = 0 ma powtarzane rozwiązanie, które daje:
- Rozwiązania równania x² + 1 = 0 są podane przez:
Jak widać w tym ostatnim przykładzie, x2 jest koniugatem x1.
