Ruch wahadłowy: proste wahadło, prosty ruch harmoniczny
Wahadło to obiekt (najlepiej masa punktowa) zawieszony przez nitkę (najlepiej bez masy) stałego punktu, który oscyluje dzięki sile grawitacji, tej tajemniczej niewidzialnej sile, która między innymi utrzymuje się we wszechświecie.
Ruch wahadłowy jest tym, który występuje w obiekcie z jednej strony na drugą, zwisający z włókna, kabla lub nici. Siły, które interweniują w tym ruchu, są połączeniem siły grawitacji (pionowej, w kierunku środka Ziemi) i napięcia nici (kierunku nici).
To właśnie robią zegary wahadłowe (stąd jego nazwa) lub huśtawki na placu zabaw. W idealnym wahadle ruch oscylacyjny będzie trwał wiecznie. Jednak w prawdziwym wahadle ruch kończy się z czasem z powodu tarcia z powietrzem.
Myślenie o wahadle nieuchronnie wywołuje obraz zegara wahadłowego, pamięci tego starego i imponującego zegara wiejskiego domu dziadków. A może opowieść Edgara Allana Poe o przerażeniu, studni i wahadle, której narrację inspiruje jedna z wielu metod tortur stosowanych przez hiszpańską inkwizycję.
Prawda jest taka, że różne typy wahadeł mają różne zastosowania poza czasem pomiaru, na przykład określają przyspieszenie grawitacji w danym miejscu, a nawet pokazują obroty Ziemi, jak zrobił to francuski fizyk Jean Bernard Léon Foucault
Proste wahadło i prosty wibracyjny ruch harmoniczny
Proste wahadło
Proste wahadło, choć jest idealnym systemem, pozwala na teoretyczne podejście do ruchu wahadła.
Chociaż równania ruchu prostego wahadła mogą być nieco skomplikowane, prawda jest taka, że gdy amplituda ( A ) lub przemieszczenie z położenia równowagi ruchu jest mała, może być aproksymowana równaniami ruchu harmonicznego proste, że nie są zbyt skomplikowane.
Prosty ruch harmoniczny
Prosty ruch harmoniczny jest ruchem okresowym, to znaczy powtarza się w czasie. Co więcej, jest to ruch oscylacyjny, którego oscylacja występuje wokół punktu równowagi, to znaczy punktu, w którym wynik netto sumy sił przyłożonych do ciała wynosi zero.
W ten sposób podstawową cechą ruchu wahadła jest jego okres ( T ), który określa czas potrzebny do wykonania pełnego cyklu (lub całkowitej oscylacji). Okres wahadła jest określony przez następujące wyrażenie:
będąc, l = długość wahadła; oraz g = wartość przyspieszenia grawitacji.
Wielkość związana z okresem to częstotliwość ( f ), która określa liczbę cykli, które wahadło przemieszcza się w ciągu sekundy. W ten sposób częstotliwość można określić z okresu o następującym wyrażeniu:
Dynamika ruchu wahadła
Siły, które interweniują w ruchu, to ciężar lub to samo, co siła grawitacji ( P ) i napięcie nici ( T ). Połączenie tych dwóch sił powoduje ruch.
Podczas gdy napięcie jest zawsze skierowane w kierunku nici lub liny, która łączy masę ze stałym punktem, dlatego nie jest konieczne jej rozkładanie; ciężar jest zawsze skierowany pionowo w kierunku środka masy Ziemi, dlatego konieczne jest jego rozkład w jego stycznych i normalnych lub promieniowych komponentach.
Składowa styczna ciężaru P t = mg sin θ, podczas gdy normalnym składnikiem ciężaru jest P N = mg cos θ . Ten drugi kompensowany jest napięciem nici; Styczna składowa ciężaru działająca jako siła rekuperacyjna jest zatem ostatecznie odpowiedzialna za ruch.
Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie
Przemieszczenie prostego ruchu harmonicznego, a tym samym wahadła, jest określone przez następujące równanie:
x = A ω cos (ω t + θ 0 )
gdzie ω = oznacza prędkość kątową obrotu; t = czas; i θ 0 = oznacza fazę początkową.
W ten sposób to równanie pozwala na określenie położenia wahadła w dowolnym momencie. W związku z tym interesujące jest podkreślenie pewnych zależności między niektórymi wielkościami prostego ruchu harmonicznego.
ω = 2 Π / T = 2 Π / f
Z drugiej strony, formuła regulująca prędkość wahadła w funkcji czasu jest uzyskiwana przez wyprowadzenie przemieszczenia w funkcji czasu, a zatem:
v = dx / dt = -A ω sin ( ω t + θ 0 )
Postępując w ten sam sposób, uzyskujemy wyrażenie przyspieszenia w odniesieniu do czasu:
a = dv / dt = - A ω 2 cos ( ω t + θ 0 )
Maksymalna prędkość i przyspieszenie
Obserwując zarówno ekspresję prędkości, jak i przyspieszenie, doceniane są pewne interesujące aspekty ruchu wahadłowego.
Prędkość przyjmuje swoją maksymalną wartość w położeniu równowagi, w którym to momencie przyspieszenie wynosi zero, ponieważ, jak już wspomniano, w tym momencie siła netto wynosi zero.
Wręcz przeciwnie, w skrajnościach przemieszczenia następuje odwrotnie, przyspieszenie przyjmuje wartość maksymalną, a prędkość przyjmuje wartość zerową.
Z równań prędkości i przyspieszenia łatwo jest wydedukować zarówno moduł maksymalnej prędkości, jak i moduł maksymalnego przyspieszenia. Wystarczy wziąć maksymalną możliwą wartość zarówno dla sin (ω t + θ 0 ), jak i cos (ω t + θ 0 ), które w obu przypadkach wynoszą 1.
Max v max │ = A ω
Max a max │ = A ω 2
Moment, w którym wahadło osiąga maksymalną prędkość, jest wtedy, gdy przechodzi przez punkt równowagi sił od tego czasu grzech (ω t + θ 0 ) = 1 . Przeciwnie, maksymalne przyspieszenie osiąga je na obu końcach ruchu od tego czasu cos (ω t + θ 0 ) = 1
Wniosek
Wahadło jest łatwym obiektem do projektowania i wyglądu dzięki prostemu ruchowi, chociaż prawda jest taka, że w tle jest znacznie bardziej złożona niż się wydaje.
Jednakże, gdy początkowa amplituda jest mała, jej ruch można wyjaśnić za pomocą równań, które nie są nadmiernie skomplikowane, zważywszy, że można ją aproksymować równaniami ruchu wibracyjnego prostej harmonicznej.
Różne typy wahadeł mają różne zastosowania zarówno w życiu codziennym, jak i naukowym.
