Faktoring: metody i przykłady

Faktoryzacja to metoda, dzięki której wielomian jest wyrażany w postaci mnożenia czynników, które mogą być liczbami, literami lub obydwoma. Aby rozłożyć czynniki, które są wspólne dla terminów, są zgrupowane, iw ten sposób wielomian jest rozkładany na kilka wielomianów.

Zatem, gdy czynniki mnożą się wzajemnie, wynikiem jest pierwotny wielomian. Faktoring jest bardzo przydatną metodą, gdy masz wyrażenia algebraiczne, ponieważ można je przekształcić w mnożenie kilku prostych terminów; na przykład: 2a2 + 2ab = 2a _* (a + b).

Istnieją przypadki, w których wielomianu nie można uwzględniać, ponieważ nie ma wspólnego czynnika między jego warunkami; zatem te wyrażenia algebraiczne są podzielne tylko między sobą i przez 1. Na przykład: x + y + z.

W wyrażeniu algebraicznym wspólnym czynnikiem jest największy wspólny dzielnik terminów, które go tworzą.

Metody faktoringowe

Istnieje kilka metod faktoringu, które są stosowane w zależności od przypadku. Oto niektóre z nich:

Faktoring według wspólnego czynnika

W tej metodzie identyfikowane są wspólne czynniki; to znaczy te, które są powtarzane w kategoriach wyrażenia. Następnie stosowana jest właściwość dystrybucji, maksymalny wspólny dzielnik jest usuwany, a faktoryzacja jest zakończona.

Innymi słowy, wspólny czynnik ekspresji jest identyfikowany i każdy termin jest podzielony między sobą; otrzymane warunki zostaną pomnożone przez największy wspólny czynnik, aby wyrazić faktoryzację.

Przykład 1

Współczynnik (b2x) + (b2y).

Rozwiązanie

Najpierw znajdujemy wspólny czynnik każdego terminu, którym w tym przypadku jest b2, a następnie dzielimy terminy między wspólny czynnik w następujący sposób:

(b2x) / b2 = x

(b2y) / b2 = y.

Faktoryzacja jest wyrażona, mnożąc wspólny współczynnik przez wynikowe warunki:

(b2x) + (b2y) = b2 (x + y).

Przykład 2

Współczynnik (2a2b3) + (3ab2).

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy dwa czynniki, które są powtarzane w każdym terminie, które są „a” i „b”, i które są podniesione do potęgi. Aby je uwzględnić, najpierw dwa terminy są podzielone na ich długą formę:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Można zauważyć, że współczynnik „a” powtarza się tylko raz w drugim terminie, a współczynnik „b” powtarza się dwukrotnie; więc w pierwszym terminie jest tylko 2, czynnik „a” i „b”; podczas gdy w drugim terminie pozostaje tylko 3.

Dlatego piszemy czasy, w których „a” i „b” są powtarzane i mnożone przez czynniki, które pozostały z każdego terminu, jak widać na obrazku:

Faktoryzacja przez grupowanie

Ponieważ nie we wszystkich przypadkach maksymalny wspólny dzielnik wielomianu jest wyraźnie wyrażony, konieczne jest podjęcie innych kroków, aby móc przepisać wielomian, a tym samym czynnik.

Jednym z tych kroków jest pogrupowanie terminów wielomianu na kilka grup, a następnie użycie wspólnej metody czynnikowej.

Przykład 1

Współczynnik ac + bc + ad + bd.

Rozwiązanie

Istnieją cztery czynniki, z których dwa są wspólne: w pierwszym terminie jest to „c”, aw drugim „d”. W ten sposób dwa terminy są pogrupowane i rozdzielone:

(ac + bc) + (ad + bd).

Teraz można zastosować wspólną metodę współczynnika, dzieląc każdy termin przez wspólny czynnik, a następnie mnożąc ten wspólny czynnik przez wynikowe warunki, takie jak:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Teraz masz dwumian, który jest wspólny dla obu terminów. Aby to uwzględnić, mnoży się przez pozostałe czynniki; w ten sposób musisz:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Faktoryzacja przez inspekcję

Metodę tę stosuje się do pomiaru wielomianów kwadratowych, zwanych również trójmianami; to znaczy te, które są skonstruowane jako ax2 ± bx + c, gdzie wartość „a” różni się od 1. Ta metoda jest również używana, gdy trójmian ma postać x2 ± bx + c, a wartość „a” = 1,

Przykład 1

Współczynnik x2 + 5x + 6.

Rozwiązanie

Mamy kwadratową trójmianę w postaci x2 ± bx + c. Aby to uwzględnić, musisz znaleźć dwie liczby, które po pomnożeniu dają w wyniku wartość „c” (czyli 6) i że jej suma jest równa współczynnikowi „b”, który wynosi 5. Liczby te wynoszą 2 i 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

W ten sposób wyrażenie jest uproszczone w następujący sposób:

(x2 + 2x) + (3x + 6)

Każdy termin jest uwzględniany:

- Dla (x2 + 2x) wyodrębniany jest wspólny termin: x (x + 2)

- Za (3x + 6) = 3 (x + 2)

Tak więc wyrażenie pozostaje:

x (x +2) + 3 (x +2).

Jak masz wspólny dwumian, aby zmniejszyć wyrażenie, pomnóż to przez warunki nadwyżki i musisz:

x2 + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Przykład 2

Współczynnik 4a2 + 12a + 9 = 0.

Rozwiązanie

Mamy kwadratową trójmianę o postaci ax2 ± bx + c i aby ją rozłożyć, mnożymy całe wyrażenie przez współczynnik x2; w tym przypadku 4.

4a2 + 12a +9 = 0

4a2 (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a2 + 12a (4) + 36 = 0

42 a2 + 12a (4) + 36 = 0

Teraz musimy znaleźć dwie liczby, które, gdy się mnożą, dają w wyniku wartość „c” (która wynosi 36) i że po dodaniu razem dają współczynnik „a”, który wynosi 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

W ten sposób wyrażenie zostaje przepisane, biorąc pod uwagę, że 42 a2 = 4a _* 4a. Dlatego właściwość dystrybucyjna jest stosowana dla każdego terminu:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Wreszcie wyrażenie jest dzielone przez współczynnik a2; czyli 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Wyrażenie jest następujące:

4a2 + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktoring z niezwykłymi produktami

Istnieją przypadki, w których, aby w pełni uwzględnić wielomiany w poprzednich metodach, staje się to bardzo długim procesem.

Dlatego można opracować wyrażenie z formułami niezwykłych produktów, a tym samym proces staje się prostszy. Do najczęściej używanych znaczących produktów należą:

- Różnica dwóch kwadratów: (a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

- Idealny kwadrat sumy: a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

- Idealny kwadrat różnicy: a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2

- Różnica dwóch kostek: a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

- Suma dwóch kostek: a3 - b3 = (a + b) _* (a2 - ab + b2)

Przykład 1

Factorize (52 - x2)

Rozwiązanie

W tym przypadku występuje różnica dwóch kwadratów; dlatego stosowana jest formuła niezwykłego produktu:

(a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

(52 - x2) = (5 - x) _* (5 + x)

Przykład 2

Współczynnik 16x2 + 40x + 252

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy doskonały kwadrat sumy, ponieważ możemy zidentyfikować dwa pojęcia do kwadratu, a pozostały termin jest wynikiem pomnożenia dwóch przez pierwiastek kwadratowy pierwszego terminu, przez pierwiastek kwadratowy z drugiego terminu.

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

Aby uwzględnić, obliczane są tylko pierwiastki kwadratowe pierwszego i trzeciego warunku:

√ (16x2) = 4x

√ (252) = 5.

Następnie dwa wynikowe terminy są oddzielone znakiem operacji, a cały wielomian jest podniesiony do kwadratu:

16x2 + 40x + 252 = (4x + 5) 2.

Przykład 3

Współczynnik 27a3 - b3

Rozwiązanie

Wyrażenie reprezentuje odejmowanie, w którym dwa czynniki są podniesione do kostki. Aby je uwzględnić, stosuje się formułę godnego uwagi produktu różnicy kostek, czyli:

a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

Tak więc, aby rozłożyć, pierwiastek sześcienny każdego terminu dwumianu jest wyodrębniany i mnożony przez kwadrat pierwszego członu, plus iloczyn pierwszego przez drugi termin, plus drugi człon przez kwadrat.

27a3 - b3

√√ (27a3) = 3a

³√ (-b3) = -b

27a3 - b3 = (3a - b) _* [(3a) 2 + 3ab + b2)]

27a3 - b3 = (3a - b) _* (9a2 + 3ab + b2)

Faktoring z regułą Ruffiniego

Ta metoda jest używana, gdy masz wielomian o stopniu większym niż dwa, aby uprościć wyrażenie do kilku wielomianów o mniejszym stopniu.

Przykład 1

Współczynnik Q (x) = x4 - 9x2 + 4x + 12

Rozwiązanie

Najpierw poszukaj liczb, które są dzielnikami 12, co jest terminem niezależnym; są to ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 i ± 12.

Następnie x zastępuje się tymi wartościami, od najniższego do najwyższego, a zatem określa się, z których wartości będzie dokładny podział; to znaczy, reszta musi być 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) 4 - 9 (-1) 2 + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 14 - 9 (1) 2 + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 24 - 9 (2) 2 + 4 (2) + 12 = 0.

I tak dalej dla każdego rozdzielacza. W tym przypadku znalezione czynniki są dla x = -1 i x = 2.

Obecnie stosowana jest metoda Ruffiniego, zgodnie z którą współczynniki wyrażenia zostaną podzielone między czynniki, które są dokładne dla podziału. Terminy wielomianowe są uporządkowane od najwyższego do najniższego wykładnika; w przypadku, gdy brakuje terminu o następującym stopniu w sekwencji, w jego miejsce umieszcza się 0.

Współczynniki znajdują się w schemacie, jak widać na poniższym rysunku.

Pierwszy współczynnik jest obniżany i mnożony przez dzielnik. W tym przypadku pierwszy dzielnik wynosi -1, a wynik jest umieszczany w następnej kolumnie. Następnie wartość współczynnika jest dodawana pionowo z uzyskanym wynikiem, a wynik jest umieszczony poniżej. W ten sposób proces powtarza się aż do ostatniej kolumny.

Następnie ta sama procedura jest powtarzana ponownie, ale z drugim dzielnikiem (który wynosi 2), ponieważ wyrażenie można jeszcze uprościć.

Tak więc, dla każdego otrzymanego pierwiastka, wielomian będzie miał termin (x - a), gdzie „a” to wartość pierwiastka:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Z drugiej strony, terminy te należy pomnożyć przez resztę reguły Ruffiniego 1: 1 i -6, które są czynnikami reprezentującymi klasę. W ten sposób powstaje wyrażenie: (x2 + x - 6).