Twierdzenie Euklidesa: wzory, demonstracja, zastosowanie i ćwiczenia
Twierdzenie Euklidesa demonstruje właściwości trójkąta prostokątnego, rysując linię dzielącą go na dwa nowe trójkąty prawe, które są do siebie podobne i z kolei są podobne do oryginalnego trójkąta; wtedy istnieje relacja proporcjonalności.
Euklides był jednym z największych matematyków i geometrów starożytności, którzy dokonali kilku demonstracji ważnych twierdzeń. Jednym z głównych jest ten, który nosi jego imię i które ma szerokie zastosowanie.
Stało się tak, ponieważ dzięki temu twierdzeniu wyjaśnia on w prosty sposób relacje geometryczne występujące w trójkącie prawym, w których nogi są powiązane z ich rzutami w przeciwprostokątnej.
Formuły i demonstracja
Twierdzenie Euklidesa sugeruje, że w każdym trójkącie prawym, kiedy rysowana jest linia, która reprezentuje wysokość odpowiadającą wierzchołkowi kąta prostego w stosunku do przeciwprostokątnej, dwa oryginalne trójkąty są utworzone z oryginału.
Te trójkąty będą do siebie podobne i będą podobne do oryginalnego trójkąta, co oznacza, że ich podobne boki są proporcjonalne do siebie:
Kąty trzech trójkątów są przystające; to znaczy, że po obróceniu o 180 stopni na wierzchołku, kąt zbiega się z drugim. Oznacza to, że wszyscy będą równi.
W ten sposób można również zweryfikować podobieństwo, które istnieje między trzema trójkątami, przez równość ich kątów. Z podobieństwa trójkątów Euklides określa proporcje tych dwóch twierdzeń:
- Twierdzenie o wysokości.
- Twierdzenie nóg.
Twierdzenie to ma szerokie zastosowanie. W starożytności był używany do obliczania wysokości lub odległości, co stanowi wielki postęp w trygonometrii.
Obecnie jest stosowany w wielu dziedzinach, które opierają się na matematyce, takich jak inżynieria, fizyka, chemia i astronomia, wśród wielu innych obszarów.
Twierdzenie o wysokości
Twierdzenie to stwierdza, że w dowolnym trójkącie prostokątnym wysokość narysowana od kąta prostego w stosunku do przeciwprostokątnej jest średnią proporcjonalną geometryczną (kwadrat wysokości) między rzutami nóg, która określa przeciwprostokątną.
Oznacza to, że kwadrat wysokości będzie równy mnożeniu rzutowanych nóg, które tworzą przeciwprostokątną:
h c 2 = m * n
Demonstracja
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, który jest prostokątem w wierzchołku C, podczas rysowania wysokości generowane są dwa podobne trójkąty prawe, ADC i BCD; dlatego ich odpowiadające boki są proporcjonalne:
Tak więc wysokość h c, która odpowiada segmentowemu CD, odpowiada przeciwprostokątnej AB = c, więc musimy:
To z kolei odpowiada:
Wyczyszczenie przeciwprostokątnej (h c ), aby pomnożyć dwa elementy równości, musisz:
h c * h c = m * n
h c 2 = m * n
Tak więc wartość przeciwprostokątnej jest podawana przez:
Twierdzenie nóg
Twierdzenie to stwierdza, że w każdym trójkącie prawym miarą każdej nogi będzie geometryczna średnia proporcjonalna (kwadrat każdej nogi) między pomiarem przeciwprostokątnej (kompletnej) a rzutem każdego na nią:
b2 = c * m
a2 = c * n
Demonstracja
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, który jest prostokątem w wierzchołku C, tak, że jego przeciwprostokątna jest c, przy wykreślaniu wysokości (h), wyznacza się rzuty nóg a i b, które są odpowiednio segmentami m i n. przeciwprostokątna.
Tak więc mamy wysokość narysowaną na trójkącie prawym ABC generuje dwa podobne trójkąty prawe, ADC i BCD, tak że odpowiadające im boki są proporcjonalne, tak jak poniżej:
DB = n, który jest rzutem nogi CB na przeciwprostokątną.
AD = m, który jest rzutem katetusu AC na przeciwprostokątną.
Następnie przeciwprostokątna c jest określona przez sumę nóg jej rzutów:
c = m + n
Ze względu na podobieństwo trójkątów ADC i BCD musimy:
Powyższe jest takie samo jak:
Oczyszczając nogę „a”, aby pomnożyć dwóch członków równości, należy:
a * a = c * n
a2 = c * n
Tak więc wartość nogi „a” podaje:
Podobnie przez podobieństwo trójkątów ACB i ADC musimy:
Powyższe jest równe:
Oczyszczając nogę „b”, aby pomnożyć dwóch członków równości, należy:
b * b = c * m
b2 = c * m
Zatem wartość nogi „b” jest podawana przez:
Relacja między twierdzeniami Euklidesa
Twierdzenia odnoszące się do wysokości i nóg są ze sobą powiązane, ponieważ pomiar obu jest dokonywany w odniesieniu do przeciwprostokątnej trójkąta prawego.
Poprzez relację twierdzeń Euklidesa można również znaleźć wartość wysokości; jest to możliwe poprzez usunięcie wartości m i n z twierdzenia o nodze i zastąpienie ich w twierdzeniu o wysokości. W ten sposób wysokość jest równa mnożeniu nóg, podzielona przez przeciwprostokątną:
b2 = c * m
m = b2 ÷ c
a2 = c * n
n = a2 ÷ c
W twierdzeniu o wysokości myn zastępuje się:
h c 2 = m * n
h c 2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c)
h c = (b2 * a2) ÷ c
Rozwiązane ćwiczenia
Przykład 1
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, prostokąt w A, określ miarę AC i AD, jeśli AB = 30 cm i BD = 18 cm
Rozwiązanie
W tym przypadku mamy pomiary jednej z rzutowanych nóg (BD) i jednej z nóg pierwotnego trójkąta (AB). W ten sposób można zastosować twierdzenie dotyczące nogi, aby znaleźć wartość nogi BC.
AB2 = BD * BC
(30) 2 = 18 * BC
900 = 18 * BC
BC = 900 ÷ 18
BC = 50 cm
Wartość kathetusu CD można znaleźć wiedząc, że BC = 50:
CD = BC - BD
CD = 50 - 18 = 32 cm
Teraz można określić wartość AC katet, stosując ponownie twierdzenie o nodze:
AC2 = CD * BD
AC2 = 32 * 50
AC2 = 160
AC = 1600 = 40 cm
Aby określić wartość wysokości (AD), stosuje się twierdzenie o wysokości, ponieważ znane są wartości przewidywanych nóg CD i BD:
AD2 = 32 * 18
AD2 = 576
AD = 576
AD = 24 cm
Przykład 2
Określ wartość wysokości (h) trójkąta MNL, prostokąta w N, znając pomiary segmentów:
NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
Rozwiązanie
Masz pomiar jednej z nóg rzutowanych na przeciwprostokątną (PM), a także pomiarów nóg oryginalnego trójkąta. W ten sposób można zastosować twierdzenie o nodze, aby znaleźć wartość innej rzutowanej nogi (LN):
NL2 = PM * LM
(10) 2 = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
Ponieważ znamy już wartość nóg i przeciwprostokątnych, poprzez stosunek twierdzeń wysokości i nóg można określić wartość wysokości:
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (b2 * a2) ÷ c.
h = (102 * 52) ÷ (20)
h = (100 * 25) ÷ (20)
h = 2500 ÷ 20
h = 125 cm.
