Algebra wektorowa: podstawy, wielkości, wektory

Algebra wektorowa jest gałęzią matematyki odpowiedzialną za badanie układów równań liniowych, wektorów, macierzy, przestrzeni wektorowych i ich przekształceń liniowych. Dotyczy to takich dziedzin jak inżynieria, rozwiązywanie równań różniczkowych, analiza funkcjonalna, badania operacyjne, grafika komputerowa, między innymi.

Innym obszarem, w którym przyjęto algebrę liniową, jest fizyka, ponieważ dzięki niej opracowano badania zjawisk fizycznych, opisując je za pomocą wektorów. Umożliwiło to lepsze zrozumienie wszechświata.

Podstawy

Algebra wektorowa powstała z badania czwartorzędów (rozszerzenie liczb rzeczywistych) 1, i, j, oraz k, jak również geometrii kartezjańskiej promowanej przez Gibbs'a i Heaviside'a, którzy zdali sobie sprawę, że wektory posłużą jako instrument dla reprezentują różne zjawiska fizyczne.

Algebra wektorowa jest badana przez trzy podstawy:

Geometrycznie

Wektory są reprezentowane przez linie, które mają orientację, a operacje takie jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez liczby rzeczywiste są definiowane za pomocą metod geometrycznych.

Analitycznie

Opis wektorów i ich operacji jest wykonywany za pomocą liczb, zwanych komponentami. Ten typ opisu jest wynikiem reprezentacji geometrycznej, ponieważ używany jest układ współrzędnych.

Aksjomatycznie

Opis wektorów jest tworzony niezależnie od układu współrzędnych lub dowolnego rodzaju reprezentacji geometrycznej.

Badanie figur w przestrzeni odbywa się poprzez ich reprezentację w systemie odniesienia, który może być w jednym lub kilku wymiarach. Wśród głównych systemów są:

- System jednowymiarowy, który jest linią, w której jeden punkt (O) reprezentuje początek, a inny punkt (P) określa skalę (długość) i kierunek jej:

- Prostokątny układ współrzędnych (dwuwymiarowy), który składa się z dwóch prostopadłych linii zwanych osią X i osią y, które przechodzą przez punkt początkowy (O); w ten sposób płaszczyzna jest podzielona na cztery regiony zwane kwadrantami. W tym przypadku punkt (P) w płaszczyźnie jest określany przez odległości istniejące między osiami i P.

- Układ współrzędnych biegunowych (dwuwymiarowy). W tym przypadku system składa się z punktu O (pochodzenia), który jest nazywany biegunem i promieniem o początku O zwanym osią biegunową. W tym przypadku punkt P płaszczyzny, w odniesieniu do bieguna i osi biegunowej, jest określony przez kąt (Ɵ), który jest utworzony przez odległość między początkiem a punktem P.

- Prostokątny system trójwymiarowy, utworzony przez trzy prostopadłe linie (x, y, z), które mają początek punktu O w przestrzeni. Tworzone są trzy płaszczyzny współrzędnych: xy, xz i yz; przestrzeń zostanie podzielona na osiem regionów zwanych oktantami. Odniesienie do punktu P przestrzeni jest określane przez odległości między płaszczyznami i P.

Wielkości

Wielkość to wielkość fizyczna, którą można policzyć lub zmierzyć za pomocą wartości liczbowej, jak w przypadku niektórych zjawisk fizycznych; niemniej jednak często konieczne jest opisanie tych zjawisk innymi czynnikami, które nie są liczbowe. Dlatego wielkości są podzielone na dwa typy:

Skalarna wielkość

Są to ilości, które są zdefiniowane i przedstawione liczbowo; to znaczy przez moduł wraz z jednostką miary. Na przykład:

a) Czas: 5 sekund.

b) Masa: 10 kg.

c) Objętość: 40 ml.

d) Temperatura: 40 ° C.

Wielkość wektora

Są to ilości, które są zdefiniowane i reprezentowane przez moduł wraz z jednostką, a także przez sens i kierunek. Na przykład:

a) Prędkość: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Przyspieszenie: 13 m / s2; S 45º E.

c) Siła: 280 N, 120º.

d) Waga: -40 ĵ kg-f.

Wielkości wektorów są reprezentowane graficznie przez wektory.

Czym są wektory?

Wektory są graficznymi reprezentacjami wielkości wektora; Oznacza to, że są to odcinki linii prostej, w których końcowym końcem jest czubek strzały.

Są one określone przez jego moduł lub długość segmentu, jego znaczenie wskazane przez końcówkę jego strzałki i kierunek zgodnie z linią, do której należy. Pochodzenie wektora jest również znane jako punkt zastosowania.

Elementy wektora są następujące:

Moduł

Jest to odległość od początku do końca wektora, reprezentowana przez liczbę rzeczywistą wraz z jednostką. Na przykład:

| OM | = | A | = A = 6 cm

Adres

Jest to miara kąta między osią x (z dodatniego) a wektorem, a także punkty kardynalne (północ, południe, wschód i zachód).

Zmysł

Jest on podawany przez grot strzałki umieszczony na końcu wektora, wskazujący, dokąd zmierza.

Klasyfikacja wektorów

Ogólnie wektory są klasyfikowane jako:

Naprawiono wektor

Jest to ten, którego punkt zastosowania (pochodzenie) jest ustalony; to znaczy, że pozostaje przywiązany do punktu przestrzeni, dlatego nie można go przesunąć w tym miejscu.

Wolny wektor

Może się swobodnie poruszać w przestrzeni, ponieważ jego pochodzenie przesuwa się do dowolnego punktu bez zmiany jego modułu, sensu lub kierunku.

Przesuwny wektor

To ten, który może przesunąć swoje pochodzenie wzdłuż linii działania bez zmiany modułu, kierunku lub kierunku.

Właściwości wektorów

Do głównych właściwości wektorów należą:

Wektory Equipolentes

Są to te wektory swobodne, które mają ten sam moduł, kierunek (lub są równoległe) i wyczuwają, że wektor ślizgowy lub wektor stały.

Wektory ekwiwalentne

Dzieje się tak, gdy dwa wektory mają ten sam kierunek (lub są równoległe), ten sam sens i pomimo różnych modułów i punktów aplikacji, powodują te same efekty.

Równość wektorów

Mają ten sam moduł, kierunek i sens, nawet jeśli ich punkty początkowe są różne, co pozwala wektorowi równoległemu się poruszać bez wpływu na to.

Przeciwne wektory

Są to te, które mają ten sam moduł i kierunek, ale ich znaczenie jest odwrotne.

Jednostka wektorowa

Jest to ten, w którym moduł jest równy jednostce (1). Uzyskuje się to przez podzielenie wektora przez jego moduł i jest ono używane do określenia kierunku i sensu wektora, albo w płaszczyźnie, albo w przestrzeni, używając podstawy lub unormowanych wektorów znormalizowanych, które są:

Wektor zerowy

Jest to ten, którego moduł jest równy 0; to znaczy ich punkt początkowy i końcowy pokrywają się w tym samym punkcie.

Składniki wektora

Składowe wektora są wartościami rzutów wektora na osiach układu odniesienia; W zależności od rozkładu wektora, który może mieć dwie lub trzy osie wymiarowe, otrzymane zostaną odpowiednio dwa lub trzy składniki.

Składowe wektora są liczbami rzeczywistymi, które mogą być dodatnie, ujemne lub nawet zerowe (0).

Zatem, jeśli mamy wektor Ā, pochodzący z prostokątnego układu współrzędnych w płaszczyźnie xy (dwuwymiarowej), rzut na oś x wynosi xx, a rzut na oś y to Āy. Zatem wektor będzie wyrażony jako suma wektorów składowych.

Przykłady

Pierwszy przykład

Mamy wektor Ā, który zaczyna się od początku i podano współrzędne jego końców. Zatem wektor Ā = (Ā _x ; A _y ) = (4; 5) cm.

Jeśli wektor Ā działa na początku trójwymiarowego trójkątnego układu współrzędnych (w przestrzeni) x, y, z, do innego punktu (P), rzuty na jego osiach będą wynosić xx, Āy i Āz; zatem wektor będzie wyrażony jako suma jego trzech wektorów składowych.

Drugi przykład

Mamy wektor Ā, który zaczyna się od początku i podano współrzędne jego końców. Zatem wektor À = (A _x ; A _y; A _z ) = (4; 6; -3) cm.

Wektory, które mają swoje współrzędne prostokątne, można wyrazić za pomocą wektorów bazowych. W tym celu tylko każda współrzędna musi zostać pomnożona przez odpowiedni wektor jednostkowy, w taki sposób, aby dla płaszczyzny i przestrzeni były one następujące:

Dla płaszczyzny: Ā = A _x i + A _i j.

Dla przestrzeni: Ā = A _x i + A _i j + A _z k.

Operacje z wektorami

Istnieje wiele wielkości, które mają moduł, sens i kierunek, między innymi przyspieszenie, prędkość, przemieszczenie, siła.

Są one stosowane w różnych dziedzinach nauki i aby je zastosować, konieczne jest w niektórych przypadkach wykonywanie takich operacji, jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wektorów i skalarów.

Dodawanie i odejmowanie wektorów

Dodawanie i odejmowanie wektorów jest uważane za pojedynczą operację algebraiczną, ponieważ odejmowanie można zapisać jako sumę; na przykład odejmowanie wektorów Ā i Ē można wyrazić jako:

Â - Ē = Ā + (-Ē)

Istnieją różne metody wykonywania dodawania i odejmowania wektorów: mogą być graficzne lub analityczne.

Metody graficzne

Używane, gdy wektor ma moduł, sens i kierunek. W tym celu rysowane są linie, które tworzą figurę, która później pomaga określić wynik. Wśród najbardziej znanych wyróżniają się:

Metoda równoległoboku

Aby dodać lub odjąć dwa wektory, wybiera się punkt wspólny na osi współrzędnych, który będzie reprezentował punkt początkowy wektorów, zachowując jego moduł, kierunek i kierunek.

Następnie linie są rysowane równolegle do wektorów, tworząc równoległobok. Wynikowy wektor jest przekątną, która opuszcza punkt początkowy obu wektorów, aż do wierzchołka równoległoboku:

Metoda trójkąta

W tej metodzie wektory są umieszczane jeden za drugim, zachowując swoje moduły, kierunki i kierunki. Wynikowy wektor będzie połączeniem początku pierwszego wektora z końcem drugiego wektora:

Metody analityczne

Możesz dodać lub odjąć dwa lub więcej wektorów za pomocą metody geometrycznej lub wektorowej:

Metoda geometryczna

Gdy dwa wektory tworzą trójkąt lub równoległobok, moduł i kierunek uzyskanego wektora można określić za pomocą praw sinusów i cosinusów. Zatem moduł otrzymanego wektora, stosując prawo cosinusu i metodę trójkąta, podaje:

W tym wzorze β jest kątem przeciwnym do boku R i jest równy 180º - Ɵ.

W przeciwieństwie do tego, metodą równoległoboku wynikowy moduł wektora jest:

Kierunek powstałego wektora jest określony przez kąt (α), który tworzy wypadkową z jednym z wektorów.

Zgodnie z prawem sinusa, dodawanie lub odejmowanie wektorów może być również wykonywane metodą trójkąta lub równoległoboku, wiedząc, że w każdym trójkącie boki są proporcjonalne do piersi kątów:

Metoda wektorowa

Można to zrobić na dwa sposoby: w zależności od ich współrzędnych prostokątnych lub wektorów bazowych.

Można to zrobić, przenosząc wektory, które mają być dodane lub odjęte do początku współrzędnych, a następnie wszystkie rzuty na każdej osi dla płaszczyzny (x, y) lub przestrzeni (x, i, z); wreszcie jego komponenty są dodawane algebraicznie. Tak więc dla samolotu to:

Moduł wynikowego wektora to:

Podczas gdy dla kosmosu to:

Moduł wynikowego wektora to:

Podczas wykonywania sum wektorowych stosuje się kilka właściwości, którymi są:

- Właściwość asocjacyjna: wypadkowa nie zmienia się, gdy najpierw dodaje się dwa wektory, a następnie dodaje trzeci wektor.

- Własność przemienna: kolejność wektorów nie zmienia wyniku.

- Własność dystrybucyjna wektora: jeśli skalar jest mnożony przez sumę dwóch wektorów, jest równy mnożeniu skalara dla każdego wektora.

- Skalarna właściwość dystrybucyjna: jeśli wektor jest mnożony przez sumę dwóch skalarów, jest równy mnożeniu wektora dla każdego skalara.

Mnożenie wektorów

Mnożenie lub iloczyn wektorów można wykonać jako dodawanie lub odejmowanie, ale w ten sposób traci ono fizyczne znaczenie i prawie nigdy nie znajduje się w aplikacjach. Z tego powodu najczęściej stosowanymi typami produktów są produkty skalarne i wektorowe.

Produkt skalarny

Jest również znany jako iloczyn kropkowy dwóch wektorów. Gdy moduły dwóch wektorów są mnożone przez cosinus kąta mniejszego, który tworzy się między nimi, uzyskuje się skalar. Aby umieścić iloczyn skalarny między dwoma wektorami, umieszcza się między nimi punkt, który można zdefiniować jako:

Wartość kąta istniejącego między dwoma wektorami będzie zależeć od tego, czy są one równoległe czy prostopadłe; Więc musisz:

- Jeśli wektory są równoległe i mają ten sam sens, cosinus 0º = 1.

- Jeśli wektory są równoległe i mają przeciwne zmysły, cosinus 180º = -1.

- Jeśli wektory są prostopadłe, cosinus 90º = 0.

Ten kąt można również obliczyć wiedząc, że:

Produkt skalarny ma następujące właściwości:

- Własność przemienna: kolejność wektorów nie zmienia skalara.

- Własność dystrybucyjna: jeśli skalar jest mnożony przez sumę dwóch wektorów, jest równy mnożeniu skalara dla każdego wektora.

Produkt wektorowy

Mnożenie wektora lub iloczyn krzyżowy dwóch wektorów A i B spowoduje powstanie nowego wektora C i wyraża się za pomocą krzyża między wektorami:

Nowy wektor będzie miał swoje własne cechy. W ten sposób:

- Kierunek: ten nowy wektor będzie prostopadły do płaszczyzny, określony przez oryginalne wektory.

- Sens: określa się to zasadą prawej ręki, gdzie wektor A jest obracany w kierunku B, wskazując palcem kierunek obrotu, a kciukiem zaznacza się sens wektora.

- Moduł: jest określany przez mnożenie modułów wektorów AxB, przez sinus najmniejszego kąta, jaki istnieje między tymi wektorami. Wyraża się to:

Wartość kąta istniejącego między dwoma wektorami będzie zależeć od tego, czy są one równoległe czy prostopadłe. Następnie można potwierdzić, co następuje:

- Jeśli wektory są równoległe i mają ten sam sens, sin 0º = 0.

- Jeśli wektory są równoległe i mają przeciwne zmysły, sinus 180º = 0.

- Jeśli wektory są prostopadłe, sinus 90º = 1.

Gdy produkt wektorowy jest wyrażony w kategoriach wektorów bazowych, musi: