Równania wielomianowe (z rozwiązanymi ćwiczeniami)

Równania wielomianowe są stwierdzeniem, które podnosi równość dwóch wyrażeń lub elementów, gdzie co najmniej jedno z terminów składających się na każdą stronę równości to wielomiany P (x). Równania te są nazywane zgodnie ze stopniem ich zmiennych.

Ogólnie, równanie jest stwierdzeniem, które ustanawia równość dwóch wyrażeń, gdzie w co najmniej jednym z nich występują nieznane wielkości, które nazywane są zmiennymi lub niewiadomymi. Chociaż istnieje wiele typów równań, są one na ogół klasyfikowane na dwa typy: algebraiczny i transcendentalny.

Równania wielomianowe zawierają tylko wyrażenia algebraiczne, które mogą mieć jedno lub więcej niewiadomych uczestniczących w równaniu. Zgodnie z wykładnikiem (stopniem) mogą być podzielone na: pierwszy stopień (liniowy), drugi stopień (kwadratowy), trzeci stopień (sześcienny), czwarty stopień (kwartowy), większy lub równy pięć i nieracjonalny.

Funkcje

Równania wielomianowe są wyrażeniami utworzonymi przez równość między dwoma wielomianami; to znaczy przez skończone sumy mnożników między nieznanymi wartościami (zmiennymi) a liczbami stałymi (współczynnikami), gdzie zmienne mogą mieć wykładniki, a ich wartość może być dodatnią liczbą całkowitą, w tym zerem.

Wykładniki określają stopień lub typ równania. Ten termin wyrażenia o największej wartości wykładnika będzie reprezentował bezwzględny stopień wielomianu.

Równania wielomianowe są również znane jako algebraiczne, ich współczynniki mogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a zmienne są liczbami nieznanymi reprezentowanymi przez literę, na przykład „x”.

Jeśli podstawienie wartości zmienną „x” w P (x), wynik jest równy zero (0), to mówi się, że ta wartość spełnia równanie (jest to rozwiązanie) i jest ogólnie nazywana pierwiastkiem wielomianu.

Gdy powstaje równanie wielomianowe, chcesz znaleźć wszystkie korzenie lub rozwiązania.

Typy

Istnieje kilka typów równań wielomianowych, które są zróżnicowane w zależności od liczby zmiennych, a także od stopnia ich wykładnika.

Zatem równania wielomianowe - gdzie pierwszy termin jest wielomianem z tylko jednym nieznanym, zważywszy, że jego stopień może być dowolną liczbą naturalną (n), a drugi termin jest zerowy - można wyrazić w następujący sposób:

a _{n *} xn + a _{n-1 *} xn-1 + ... + a _{1 *} x1 + a _{0 *} x ₀ = 0

Gdzie:

- a _n, _n-1 i ₀, są rzeczywistymi współczynnikami (liczbami).

- a _n różni się od zera.

- Wykładnik n jest dodatnią liczbą całkowitą, która reprezentuje stopień równania.

- x jest zmienną lub nieznaną, którą należy przeszukać.

Absolutny lub większy stopień równania wielomianowego jest tym wykładnikiem o większej wartości spośród wszystkich, które tworzą wielomian; w ten sposób równania są klasyfikowane jako:

Pierwsza klasa

Równania wielomianowe pierwszego stopnia, znane również jako równania liniowe, to takie, w których stopień (największy wykładnik) jest równy 1, wielomian ma postać P (x) = 0; i składa się z terminu liniowego i terminu niezależnego. Jest napisane w następujący sposób:

ax + b = 0.

Gdzie:

- aib są liczbami rzeczywistymi już ≠ 0.

- ax to termin liniowy.

- b to niezależny termin.

Na przykład równanie 13x - 18 = 4x.

Aby rozwiązać równania liniowe, wszystkie terminy zawierające nieznane x muszą zostać przekazane po jednej stronie równości, a te, które nie mają tego samego ruchu, po drugiej stronie, aby je usunąć i uzyskać rozwiązanie:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2

W ten sposób dane równanie ma jedno rozwiązanie lub pierwiastek, czyli x = 2.

Druga klasa

Równania wielomianowe drugiego stopnia, znane również jako równania kwadratowe, to te, w których stopień (największy wykładnik) jest równy 2, wielomian ma postać P (x) = 0 i składa się z członu kwadratowego, jeden liniowy i jeden niezależny. Wyraża się to w następujący sposób:

ax2 + bx + c = 0.

Gdzie:

- a, b i c są już liczbami rzeczywistymi ≠ 0.

- ax2 to termin kwadratowy, a „a” to współczynnik terminu kwadratowego.

- bx jest pojęciem liniowym, a „b” jest współczynnikiem terminu liniowego.

- c to niezależny termin.

Rozpuszczalnik

Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązanie tego typu równań można uzyskać, usuwając x z równania, i pozostawiamy je w następujący sposób, nazywane tłumaczeniem:

Tam (b2 - 4ac) nazywany jest wyróżnikiem równania i to wyrażenie określa liczbę rozwiązań, które może mieć równanie:

- Jeśli (b2 - 4ac) = 0, równanie będzie miało jedno rozwiązanie, które jest podwójne; to znaczy, będziesz miał dwa równe rozwiązania.

- Jeśli (b2 - 4ac)> 0, równanie będzie miało dwa różne rzeczywiste rozwiązania.

- Jeśli (b2 - 4ac) <0, równanie nie ma rozwiązania (będzie miało dwa różne złożone rozwiązania).

Na przykład mamy równanie 4x2 + 10x - 6 = 0, aby je rozwiązać, najpierw identyfikujemy terminy a, bi ic, a następnie zastępujemy je wzorem:

a = 4

b = 10

c = -6.

Istnieją przypadki, w których równania wielomianowe drugiego stopnia nie mają trzech terminów i dlatego są one rozwiązywane inaczej:

- W przypadku, gdy równania kwadratowe nie mają terminu liniowego (tj. B = 0), równanie będzie wyrażone jako ax2 + c = 0. Aby go rozwiązać, x2 jest wyczyszczone i pierwiastki kwadratowe są stosowane w każdym elemencie, pamiętając należy wziąć pod uwagę dwa możliwe znaki, które mogą mieć incognito:

ax2 + c = 0.

x2 = - c ÷ a

Na przykład 5 x 2 - 20 = 0.

5 x2 = 20

x2 = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2

x ₂ = -2

- Gdy równanie kwadratowe nie ma niezależnego terminu (tj. C = 0), równanie będzie wyrażone jako ax2 + bx = 0. Aby go rozwiązać, musimy wyodrębnić wspólny współczynnik nieznanego x w pierwszym członie; ponieważ równanie jest równe zero, prawdą jest, że co najmniej jeden z czynników będzie równy 0:

ax2 + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

W ten sposób musisz:

x = 0

x = -b ÷ a.

Na przykład: masz równanie 5x2 + 30x = 0. Pierwszy czynnik:

5x2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Generowane są dwa czynniki: xy (5x + 30). Uważa się, że jedno z nich będzie równe zero, a drugie rozwiązanie zostanie podane:

x ₁ = 0

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Większy stopień

Równania wielomianowe o większym stopniu to równania od trzeciego stopnia, które można wyrazić lub rozwiązać za pomocą ogólnego równania wielomianowego dla dowolnego stopnia:

a _{n *} xn + a _{n-1 *} xn-1 + ... + a _{1 *} x1 + a _{0 *} x ₀ = 0

Jest to używane, ponieważ równanie o stopniu większym niż dwa jest wynikiem faktoryzacji wielomianu; to znaczy, jest wyrażany jako mnożenie wielomianów stopnia pierwszego lub większego, ale bez rzeczywistych korzeni.

Rozwiązanie tego typu równań jest bezpośrednie, ponieważ mnożenie dwóch czynników będzie równe zeru, jeśli którykolwiek z czynników jest zerowy (0); dlatego każde znalezione równanie wielomianowe musi zostać rozwiązane, zrównując każdy z jego współczynników do zera.

Na przykład masz równanie trzeciego stopnia (sześcienny) x3 + x2 + 4x + 4 = 0. Aby go rozwiązać, musisz wykonać następujące kroki:

- Warunki są pogrupowane:

x3 + x2 + 4x + 4 = 0

(x3 + x2) + (4x + 4) = 0.

- Członkowie są podzieleni, aby uzyskać wspólny czynnik nieznany:

x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x2 + 4) _* (x + 1) = 0.

- W ten sposób uzyskuje się dwa czynniki, które muszą być równe zero:

(x2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Widać, że czynnik (x2 + 4) = 0 nie będzie miał rzeczywistego rozwiązania, podczas gdy współczynnik (x + 1) = 0. Dlatego rozwiązaniem jest:

(x + 1) = 0

x = -1

Rozwiązane ćwiczenia

Rozwiąż następujące równania:

Pierwsze ćwiczenie

(2x2 + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Rozwiązanie

W tym przypadku równanie jest wyrażone jako mnożenie wielomianów; to znaczy, że jest to uwzględniane. Aby go rozwiązać, każdy współczynnik musi być równy zero:

- 2x2 + 5 = 0, nie ma rozwiązania.

- x - 3 = 0

- x = 3

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Tak więc podane równanie ma dwa rozwiązania: x = 3 i x = -1.