Kolejne instrumenty pochodne (z rozwiązanymi ćwiczeniami)

Kolejne pochodne są pochodnymi funkcji po drugiej pochodnej. Proces obliczania kolejnych pochodnych jest następujący: mamy funkcję f, którą możemy uzyskać, a tym samym uzyskać funkcję pochodną f '. Do tej pochodnej f możemy ją ponownie uzyskać, uzyskując (f ')'.

Ta nowa funkcja nosi nazwę drugiej pochodnej; wszystkie pochodne obliczone od drugiego są kolejne; Te, zwane również wyższym, mają świetne zastosowania, takie jak podawanie informacji o wykresie funkcji, test drugiej pochodnej dla względnych ekstremów i wyznaczanie nieskończonych szeregów.

Definicja

Używając notacji Leibniza, mamy, że pochodna funkcji „y” w odniesieniu do „x” to dy / dx. Aby wyrazić drugą pochodną „i” używając notacji Leibniza, piszemy następująco:

Ogólnie rzecz biorąc, możemy wyrazić kolejne pochodne w następujący sposób z notacją Leibniza, gdzie n reprezentuje kolejność pochodnej.

Inne użyte notacje to:

Oto kilka przykładów, w których możemy zobaczyć różne zapisy:

Przykład 1

Uzyskaj wszystkie pochodne funkcji f zdefiniowane przez:

Używając zwykłych technik derywacji, mamy pochodną f:

Powtarzając proces, możemy uzyskać drugą pochodną, trzecią pochodną i tak dalej.

Zauważ, że czwarta pochodna wynosi zero, a pochodna zera wynosi zero, więc musimy:

Przykład 2

Oblicz czwartą pochodną następującej funkcji:

Wyprowadzając daną funkcję mamy w wyniku:

Prędkość i przyspieszenie

Jedną z motywacji, która doprowadziła do odkrycia pochodnej, było poszukiwanie definicji prędkości chwilowej. Formalna definicja jest następująca:

Niech y = f (t) będzie funkcją, której wykres opisuje trajektorię cząstki w chwili t, a jej prędkość w chwili t jest dana przez:

Po uzyskaniu prędkości cząstki możemy obliczyć przyspieszenie chwilowe, które definiuje się następująco:

Chwilowe przyspieszenie cząstki, której ścieżka jest dana przez y = f (t), wynosi:

Przykład 1

Cząstka porusza się po linii zgodnie z funkcją pozycji:

Gdzie „i” mierzy się w metrach, a „t” w sekundach.

- W jakiej chwili twoja prędkość 0?

- W jakim momencie jego przyspieszenie 0?

Wyprowadzając funkcję położenia «i» mamy, że jej prędkość i przyspieszenie są podawane odpowiednio przez:

Aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie, wystarczy określić, kiedy funkcja v stanie się zerem; to jest:

Analogicznie postępujemy zgodnie z następującym pytaniem:

Przykład 2

Cząstka porusza się po linii zgodnie z następującym równaniem ruchu:

Określ «t, y» i «v», gdy a = 0.

Wiedząc, że prędkość i przyspieszenie są podane przez

Kontynuujemy uzyskiwanie i uzyskiwanie:

Robiąc a = 0, mamy:

Z czego możemy wywnioskować, że wartość t równa zero wynosi t = 1.

Następnie, oceniając funkcję położenia i funkcję prędkości przy t = 1, musimy:

Aplikacje

Zwiększona pochodność

Kolejne pochodne można również uzyskać przez niejawne wyprowadzenie.

Przykład

Biorąc pod uwagę następującą elipsę, znajdź «i»:

Wynikając pośrednio w odniesieniu do topora, mamy:

Następnie, powracając domyślnie do topora, daje nam:

Wreszcie mamy:

Względne końce

Innym zastosowaniem, które możemy dać pochodnym drugiego rzędu, jest obliczanie względnych końców funkcji.

Kryterium pierwszej pochodnej dla ekstremów lokalnych mówi nam, że jeśli mamy funkcję f ciągłą w zakresie (a, b) i istnieje c, które należy do tego przedziału, tak że f 'jest anulowane w c (to znaczy, że c jest punktem krytycznym), może wystąpić jeden z tych trzech przypadków:

- Jeśli f '(x)> 0 dla dowolnego x należącego do (a, c) if' (x) <0 dla x należącego do (c, b), to f (c) jest maksimum lokalnym.

- Jeśli f '(x) 0 dla x należy do (c, b), to f (c) jest lokalnym minimum.

- Jeśli f '(x) ma taki sam znak w (a, c) i (c, b), oznacza to, że f (c) nie jest lokalnym punktem końcowym.

Korzystając z kryterium drugiej pochodnej, możemy wiedzieć, czy krytyczna liczba funkcji jest lokalnym maksimum lub minimum, bez konieczności sprawdzania, jaki jest znak funkcji w wyżej wymienionych odstępach.

Drugie kryterium derywacji mówi nam, że jeśli f '(c) = 0 i że f' '(x) jest ciągłe w (a, b), zdarza się, że jeśli f' '(c)> 0 to f (c) jest lokalnym minimum i jeśli f '' (c) <0 to f (c) jest maksimum lokalnym.

Jeśli f '' (c) = 0, nie możemy niczego zawrzeć.

Przykład

Biorąc pod uwagę funkcję f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, znajdź względne maksima i minima f stosując kryterium drugiej pochodnej.

Najpierw obliczamy f '(x) i f' '(x) i mamy:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x

f '' (x) = 12x2 + 8x - 8

Teraz, f '(x) = 0 if i tylko wtedy, gdy 4x (x + 2) (x - 1) = 0, a dzieje się tak, gdy x = 0, x = 1 lub ox = - 2.

Aby ustalić, czy uzyskane liczby krytyczne są ekstremami względnymi, wystarczy ocenić w f '' i tym samym obserwować jego znak.

f '' (0) = - 8, więc f (0) jest maksimum lokalnym.

f '' (1) = 12, więc f (1) jest lokalnym minimum.

f '' (- 2) = 24, więc f (- 2) jest lokalnym minimum.

Seria Taylora

Niech f będzie funkcją zdefiniowaną w następujący sposób:

Ta funkcja ma promień zbieżności R> 0 i ma pochodne wszystkich rozkazów (-R, R). Kolejne pochodne f dają nam:

Biorąc x = 0, możemy otrzymać wartości c _n jako funkcję jego pochodnych w następujący sposób:

Jeśli weźmiemy = 0 jako funkcję f (to znaczy f ^ 0 = f), możemy przepisać funkcję w następujący sposób:

Teraz rozważ funkcję jako szereg mocy w x = a:

Jeśli wykonamy analogiczną analizę do poprzedniej, musielibyśmy napisać funkcję f jako:

Te serie są znane jako szereg Taylora fw a. Kiedy a = 0 mamy konkretny przypadek, który nazywa się serią Maclaurin. Ten typ serii ma wielkie znaczenie matematyczne, zwłaszcza w analizie numerycznej, ponieważ dzięki nim możemy definiować funkcje w komputerach, takich jak ex, sin (x) i cos (x).