Godne uwagi produkty: wyjaśnienie i ćwiczenia rozwiązane
Niezwykłe produkty to operacje algebraiczne, w których wyrażane są mnożenia wielomianów, które nie muszą być rozwiązywane tradycyjnie, ale za pomocą pewnych reguł można znaleźć ich wyniki.
Wielomiany są mnożone przez siebie, dlatego mogą mieć dużą liczbę terminów i zmiennych. Aby skrócić ten proces, stosuje się reguły godnych uwagi produktów, które umożliwiają wykonywanie mnożenia bez konieczności przechodzenia przez termin.
Godne uwagi produkty i przykłady
Każdy niezwykły produkt jest formułą, która wynika z faktoryzacji, złożonej z wielomianów różnych terminów, takich jak dwumian lub trójmian, zwanych czynnikami.
Czynniki są podstawą mocy i mają wykładnik. Gdy czynniki się mnożą, należy dodać wykładniki.
Istnieje kilka niezwykłych formuł produktów, niektóre są bardziej używane niż inne, w zależności od wielomianów i są następujące:
Kwadrat dwumianowy
Jest to mnożenie samego dwumianu, wyrażonego w postaci mocy, w której terminy są dodawane lub odejmowane:
a. Dwumian sumy kwadratowej: jest równy kwadratowi pierwszego terminu, plus dwukrotność iloczynu terminów, plus kwadrat drugiego terminu. Wyraża się to w następujący sposób:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Poniższy rysunek pokazuje, w jaki sposób produkt jest rozwijany zgodnie z wyżej wymienioną regułą. Wynik nazywa się trójmianem idealnego kwadratu.
Przykład 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Przykład 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.
b. Dwumian odejmowania do kwadratu: stosowana jest ta sama reguła dwumianu sumy, że tylko w tym przypadku drugi termin jest ujemny. Jego formuła jest następująca:
(a - b) 2 = [(a) + (- b)] 2
(a - b) 2 = a2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2.
Przykład 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 62
(2x - 6) 2 = 4x2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x2 - 24x + 36.
Produkt sprzężonych dwumianów
Dwa dwumianowe są sprzężone, gdy drugie terminy każdego z nich mają różne znaki, to znaczy, że pierwszy z nich jest dodatni, a drugi ujemny lub odwrotnie. Rozwiąż, podnosząc każdy kwadrat monomii i odejmuj. Jego formuła jest następująca:
(a + b) * (a - b)
Na poniższym rysunku opracowano iloczyn dwóch sprzężonych dwumianów, w którym zaobserwowano, że wynikiem jest różnica kwadratów.
Przykład 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.
Produkt dwóch dwumianów ze wspólnym terminem
Jest to jeden z najbardziej złożonych i mało używanych niezwykłych produktów, ponieważ jest mnożeniem dwóch dwumianów, które mają wspólny termin. Reguła wskazuje:
- Kwadrat wspólnego terminu.
- Plus dodaj terminy, które nie są powszechne, a następnie pomnóż je przez wspólny termin.
- Plus suma mnożenia terminów, które nie są powszechne.
Jest on przedstawiony we wzorze: (x + a) * (x + b) i jest rozwijany jak pokazano na obrazku. Rezultatem jest kwadratowa trójmianowa nie doskonała.
(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.
Istnieje możliwość, że drugi termin (inny termin) jest ujemny, a jego wzór jest następujący: (x + a) * (x - b).
Przykład 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.
Może się również zdarzyć, że oba różne terminy są negatywne. Jego formuła będzie: (x - a) * (x - b).
Przykład 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.
Kwadrat wielomianowy
W tym przypadku istnieje więcej niż dwa terminy i aby je rozwinąć, każdy z nich jest podniesiony do kwadratu i dodany razem z dwukrotnością mnożenia jednego terminu do drugiego; jego formuła to: (a + b + c) 2, a wynikiem operacji jest kwadrat trójmianowy.
Przykład 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Dwumian do kostki
To niezwykły złożony produkt. Aby go rozwinąć, pomnóż dwumian przez jego kwadrat w następujący sposób:
a. Dla dwumianu do sześcianu o sumie:
- Sześcian pierwszego terminu plus trzykrotność kwadratu pierwszego wyrazu do drugiego.
- Plus potrójny pierwszy termin, przez drugi do kwadratu.
- Plus sześcian drugiego terminu.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)
(a + b) 3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Przykład 1
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.
b. Dla dwumianu w kostce odejmowania:
- Sześcian pierwszego terminu, mniejszy od potrójnego kwadratu pierwszego terminu do drugiego.
- Plus potrójny pierwszy termin, przez drugi do kwadratu.
- Mniej sześcianu drugiego terminu.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)
(a - b) 3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3
(a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
Przykład 2
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b3 - 15b2 + 75b - 125.
Wiadro trójmianu
Rozwija się przez pomnożenie jej przez kwadrat. Jest to niezwykły produkt bardzo obszerny, ponieważ do kostki są 3 terminy, plus trzy razy każdy kwadrat do kwadratu, pomnożony przez każdy z warunków, plus sześć razy produkt z trzech terminów. Lepiej widziany:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2 bc)
(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.
Przykład 1
Rozwiązane ćwiczenia niezwykłych produktów
Ćwiczenie 1
Opracuj następującą dwumian do sześcianu: (4x - 6) 3.
Rozwiązanie
Pamiętając, że dwumian do sześcianu jest równy pierwszemu terminowi podniesionemu do sześcianu, mniejszy od potrójnego kwadratu pierwszego członu do drugiego; plus potrójny pierwszy termin, przez drugi kwadrat, minus sześcian drugiego terminu.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.
Ćwiczenie 2
Opracuj następujący dwumian: (x + 3) (x + 8).
Rozwiązanie
Istnieje dwumian, w którym występuje wspólny termin, czyli x, a drugi termin jest dodatni. Aby go rozwinąć, trzeba tylko określić ten wspólny termin, plus sumę terminów, które nie są powszechne (3 i 8), a następnie pomnożyć je przez wspólny termin, plus sumę mnożenia terminów, które nie są powszechne.
(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.
