Trójkąt równoboczny: cechy, właściwości, wzory i obszar

Trójkąt równoboczny jest wielokątem z trzema bokami, gdzie wszystkie są równe; to znaczy, mają ten sam środek. Dla tej cechy nadano jej nazwę równoboczną (równe boki).

Trójkąty są wielokątami uważanymi za najprostsze w geometrii, ponieważ są uformowane z trzech boków, trzech kątów i trzech wierzchołków. W przypadku trójkąta równobocznego, ponieważ ma równe boki, oznacza to, że jego trzy kąty będą również równe.

Charakterystyka trójkątów równobocznych

Równe strony

Trójkąty równoboczne są płaskimi i zamkniętymi figurami, złożonymi z trzech segmentów linii prostych. Trójkąty są klasyfikowane według ich właściwości, w odniesieniu do ich boków i kątów; równoboczny został sklasyfikowany za pomocą miary jego boków jako parametru, ponieważ są one dokładnie takie same, to znaczy są przystające.

Trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem trójkąta równoramiennego, ponieważ dwa jego boki są przystające. Dlatego wszystkie równoboczne trójkąty są również równoramienne, ale nie wszystkie trójkąty równoramienne będą równoboczne.

W ten sposób trójkąty równoboczne mają te same właściwości trójkąta równoramiennego.

Trójkąty równoboczne można również klasyfikować według amplitudy ich kątów wewnętrznych jako trójkąta równobocznego, który ma trzy boki i trzy kąty wewnętrzne z tą samą miarą. Kąty będą ostre, to znaczy będą mniejsze niż 90 °.

Komponenty

Trójkąty ogólnie mają kilka linii i punktów, które go tworzą. Służą do obliczania powierzchni, boków, kątów, mediany, dwusiecznej, prostopadłej i wysokości.

• Mediana : to linia, która wychodzi z punktu środkowego jednej strony i osiąga przeciwny wierzchołek. Trzy mediany spotykają się w punkcie zwanym centroidem lub centroidem.
• Dwusieczna : to promień, który dzieli kąt wierzchołków na dwa kąty o jednakowym rozmiarze, więc jest znany jako oś symetrii. Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii.

W trójkącie równobocznym dwusieczna jest rysowana od wierzchołka pod kątem do jej przeciwnej strony, przecinając ją w punkcie środkowym. Te zgadzają się w punkcie zwanym incentro.

• Dwusieczna prostopadła to odcinek prostopadły do ​​boku trójkąta, który powstaje w środku tego odcinka. W trójkącie są trzy mediatory, które zgadzają się w punkcie zwanym circuncentro.
• Wysokość : jest linią biegnącą od wierzchołka do strony przeciwnej, a także ta linia jest prostopadła do tej strony. Wszystkie trójkąty mają trzy wysokości, które pokrywają się w punkcie zwanym ortocentrum.

Właściwości

Główną właściwością trójkątów równobocznych jest to, że będą one zawsze trójkątami równoramiennymi, ponieważ równoramienne są utworzone przez dwa przystające boki i równoboczne przez trzy.

W ten sposób trójkąty równoboczne odziedziczyły wszystkie właściwości trójkąta równoramiennego:

Kąty wewnętrzne

Suma kątów wewnętrznych jest zawsze równa 180o, a ponieważ wszystkie kąty są przystające, to każdy z nich będzie mierzył 60o.

Kąty zewnętrzne

Suma kątów zewnętrznych zawsze będzie równa 360o, dlatego każdy kąt zewnętrzny będzie mierzył 120o. Dzieje się tak, ponieważ kąty wewnętrzne i zewnętrzne są uzupełniające, to znaczy, że ich dodanie zawsze będzie równe 180o.

Suma boków

Suma miar dwóch boków musi być zawsze większa niż miara trzeciej strony, to jest a + b> c, gdzie a, b i c są pomiarami każdej strony.

Zgodne strony

Trójkąty równoboczne mają trzy boki o tej samej miary lub długości; to znaczy są przystające. Dlatego w poprzednim punkcie mamy a = b = c.

Zgodne kąty

Trójkąty równoboczne są również znane jako trójkąty równokątne, ponieważ ich trzy kąty wewnętrzne są ze sobą zgodne. Dzieje się tak, ponieważ wszystkie jego boki mają tę samą miarę.

Dwusieczna, mediana i pośrednia są zbieżne

Dwusieczna dzieli bok trójkąta na dwie części. W trójkątach równobocznych ta strona zostanie podzielona na dwie dokładnie równe części, to znaczy trójkąt zostanie podzielony na dwa przystające trójkąty.

Zatem dwusieczna narysowana z dowolnego kąta trójkąta równobocznego pokrywa się ze środkową i dwusieczną strony przeciwnej do tego kąta.

Przykład:

Poniższy rysunek przedstawia trójkąt ABC z punktem środkowym D, który dzieli jeden z jego boków na dwa segmenty AD i BD.

Kiedy rysujesz linię od punktu D do przeciwnego wierzchołka, z definicji otrzymujesz medianę CD, która jest względna do wierzchołka C i boku AB.

Ponieważ segment CD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równe CDB i CDA, oznacza to, że będziemy mieli przypadek kongruencji: boku, kąta, boku, a zatem CD będzie także dwusieczną BCD.

Gdy segment CD jest rysowany, kąt wierzchołkowy jest dzielony na dwa równe kąty 30o, kąt wierzchołka A nadal mierzy 60o, a linia CD tworzy kąt 90o w stosunku do punktu środkowego D.

Segmentowa płyta CD tworzy kąty, które mają taki sam pomiar dla trójkątów ADC i BDC, to znaczy są uzupełniające w taki sposób, że pomiar każdego z nich będzie:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o

2 _* Med. (ADC) = 180o

Med. (ADC) = 180o ÷ 2

Med. (ADC) = 90o.

I tak mamy segment CD, który jest również dwusieczną strony AB.

Dwusieczna i wysokość są zbieżne

Kiedy rysujesz dwusieczną z wierzchołka kąta do punktu środkowego przeciwnej strony, dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty.

W taki sposób powstaje kąt 90o (prosty). Oznacza to, że ten odcinek linii jest całkowicie prostopadły do ​​tej strony, a z definicji ta linia byłaby wysokością.

W ten sposób dwusieczna dowolnego kąta trójkąta równobocznego pokrywa się z wysokością względną po przeciwnej stronie tego kąta.

Orthocenter, barycenter, incenter i circumcenter pokrywają się

Ponieważ wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna są reprezentowane w tym samym czasie przez ten sam segment, w trójkącie równobocznym punkty spotkań tych segmentów - centrum ortocentrum, centrum barcentera, centrum i centrum - będą w tym samym punkcie:

Jak obliczyć obwód?

Obwód wielokąta jest obliczany na podstawie sumy boków. Ponieważ w tym przypadku trójkąt równoboczny ma wszystkie swoje boki z tą samą miarą, jego obwód jest obliczany według następującego wzoru:

Strona P = 3 _* .

Jak obliczyć wysokość?

Ponieważ wysokość jest linią prostopadłą do podstawy, dzieli ją na dwie równe części, rozciągając się do przeciwnego wierzchołka. W ten sposób powstają dwa równe prawe trójkąty.

Wysokość (h) reprezentuje przeciwną stronę (a), połowa boku AC do sąsiedniej strony (b), a bok BC reprezentuje przeciwprostokątną (c).

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można określić wartość wysokości:

a 2 + b 2 = c 2

Gdzie:

a2 = wysokość (h).

b2 = strona b / 2.

c2 = strona a.

Zastępując te wartości w twierdzeniu Pitagorasa i usuwając wysokość, mamy:

h 2 + ( 1/2 ) 2 = 1 2

h 2 + l 2/4 = l 2

h 2 = 1 2 - 2/4

h 2 = (4 _* l 2 - 1 2) / 4

h 2 = 3 _* l 2/4

√ h 2 = √ (3 _* l 2/4)

Jeśli znany jest kąt utworzony przez przystające boki, wysokość (reprezentowaną przez nogę) można obliczyć stosując stosunki trygonometryczne.

Nogi nazywane są przeciwnymi lub sąsiadującymi w zależności od kąta przyjętego jako punkt odniesienia.

Na przykład na poprzedniej figurze katetus h będzie przeciwny do kąta C, ale przylegający do kąta B:

Tak więc wysokość można obliczyć za pomocą:

Jak obliczyć boki?

Istnieją przypadki, w których pomiary boków trójkąta nie są znane, ale ich wysokość i kąty, które powstają w wierzchołkach.

Aby określić obszar w tych przypadkach, konieczne jest zastosowanie współczynników trygonometrycznych.

Znając kąt jednego z jego wierzchołków, identyfikuje się nogi i stosuje się odpowiedni stosunek trygonometryczny:

Zatem noga AB będzie przeciwna do kąta C, ale przylega do kąta A. W zależności od strony lub nogi odpowiadającej wysokości, druga strona jest oczyszczana, aby uzyskać wartość tego, wiedząc, że w trójkącie równobocznym trzy boki zawsze będą miały ten sam środek.

Jak obliczyć obszar?

Powierzchnia trójkątów jest zawsze obliczana według tej samej formuły, mnożąc podstawę przez wysokość i dzieląc przez dwa:

Powierzchnia = (b _* h) ÷ 2

Wiedząc, że wysokość jest określona wzorem:

Ćwiczenia

Pierwsze ćwiczenie

Boki trójkąta równobocznego ABC mierzą 20 cm każdy. Oblicz wysokość i powierzchnię tego wielokąta.

Rozwiązanie

Aby określić obszar tego trójkąta równobocznego, należy obliczyć wysokość, wiedząc, że podczas rysowania dzieli on trójkąt na dwa równe trójkąty.

W ten sposób można znaleźć twierdzenie Pitagorasa:

a 2 + b 2 = c 2

Gdzie:

a = 20/2 = 10 cm.

b = wysokość

c = 20 cm

Dane w twierdzeniu zostają zastąpione:

102 + b 2 = 202

100 cm + b 2 = 400 cm

b 2 = (400 - 100) cm

b 2 = 300 cm

b = √300 cm

b = 17, 332 cm.

Oznacza to, że wysokość trójkąta wynosi 17, 332 cm. Teraz można obliczyć obszar danego trójkąta, zastępując go wzorem:

Powierzchnia = (b _* h) ÷ 2

Powierzchnia = (20 cm _* 17, 32 cm) ÷ 2

Powierzchnia = 346, 40 cm2 ÷ 2

Powierzchnia = 173, 20 cm2.

Innym prostszym sposobem rozwiązania tego ćwiczenia jest zastąpienie danych bezpośrednią formułą obszaru, w której wartość wysokości jest również domyślnie znaleziona:

Drugie ćwiczenie

W krainie o kształcie trójkąta równobocznego posadzone zostaną kwiaty. Jeśli obwód tego lądu wynosi 450 m, oblicz liczbę metrów kwadratowych zajmowanych przez kwiaty.

Rozwiązanie

Wiedząc, że obwód trójkąta odpowiada sumie jego trzech boków, a teren ma kształt trójkąta równobocznego, trzy boki tego trójkąta będą miały tę samą miarę lub długość:

P = bok + bok + bok = 3 _* l

3 _* l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Teraz wystarczy obliczyć wysokość tego trójkąta.

Wysokość dzieli trójkąt na dwa przystające prawe trójkąty, gdzie jedna z nóg reprezentuje wysokość, a druga połowa podstawy. Według twierdzenia Pitagorasa wysokość można określić:

a 2 + b 2 = c 2

Gdzie:

a = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = wysokość

Dane w twierdzeniu zostają zastąpione:

(75 m) 2 + b 2 = (150 m) 2

5, 625 m + b 2 = 22, 500 m

b 2 = 22 500 m - 5625 m

b 2 = 16, 875 m

b = 6, 816 875 m

b = 129, 90 m.

Tak więc obszar, który zajmie kwiaty, będzie:

Powierzchnia = b * h ÷ 2

Powierzchnia = (150 m _* 129, 9 m) ÷ 2

Powierzchnia = (19, 485 m2) ÷ 2

Powierzchnia = 9, 742, 5 m2

Trzecie ćwiczenie

Trójkąt równoboczny ABC jest podzielony przez odcinek linii, który biegnie od wierzchołka C do punktu środkowego D, znajdującego się po przeciwnej stronie (AB). Segment ten ma 62 metry. Oblicz pole i obwód tego trójkąta równobocznego.

Rozwiązanie

Wiedząc, że trójkąt równoboczny jest podzielony przez odcinek linii, który odpowiada wysokości, tworząc dwa przystające trójkąty prawe, to z kolei dzieli kąt wierzchołka C na dwa kąty o tej samej mierze 30o każdy.

Wysokość tworzy kąt 90o w stosunku do segmentu AB, a kąt wierzchołka A będzie mierzył 60o.

Następnie, wykorzystując kąt 30o jako odniesienie, wysokość CD jest ustawiana jako noga przylegająca do kąta, a BC jako przeciwprostokątna.

Z tych danych można określić wartość jednego z boków trójkąta, stosując współczynniki trygonometryczne:

Ponieważ w trójkącie równobocznym wszystkie boki mają dokładnie taką samą miarę lub długość, oznacza to, że każdy bok trójkąta równobocznego ABC jest równy 71, 6 metra. Wiedząc o tym, można określić swój obszar:

Powierzchnia = b * h ÷ 2

Powierzchnia = (71, 6 m _* 62 m) ÷ 2

Powierzchnia = 4 438, 6 m2 ÷ 2

Powierzchnia = 219, 39, 3 m2

Obwód jest sumą trzech jego stron:

P = bok + bok + bok = 3 _* l

P = 3 _* l

P = 3 _* 71, 6 m

P = 214, 8 m.