Równoległe: cechy, typy, powierzchnia, objętość

Równoległościan jest geometrycznym ciałem utworzonym przez sześć ścian, których główną cechą jest to, że wszystkie ich powierzchnie są równoległobokami, a ich przeciwległe powierzchnie są równoległe do siebie. Jest to wspólny wielościan w naszym codziennym życiu, ponieważ możemy go znaleźć w pudełkach na buty, kształcie cegły, kształcie kuchenki mikrofalowej itp.

Będąc wielościanem, równoległościan zamyka skończoną objętość, a wszystkie jego powierzchnie są płaskie. Tworzy część grupy pryzmatów, które są wielościanami, w których wszystkie ich wierzchołki są zawarte w dwóch równoległych płaszczyznach.

Elementy równoległościanu

Twarze

Są to każdy z regionów utworzonych przez równoległoboki, które ograniczają równoległościan. Równoległościan ma sześć ścian, z których każda ma cztery sąsiadujące ze sobą powierzchnie i jedną przeciwną. Ponadto każda twarz jest równoległa do jej przeciwieństwa.

Krawędzie

Są wspólną stroną dwóch twarzy. W sumie równoległościan ma dwanaście krawędzi.

Wierzchołek

Jest to wspólny punkt trzech ścian, które sąsiadują ze sobą dwa do dwóch. Równoległościan ma osiem wierzchołków.

Przekątna

Biorąc pod uwagę dwie przeciwległe strony równoległościanu, możemy narysować odcinek linii, który biegnie od wierzchołka jednej twarzy do przeciwnego wierzchołka drugiego.

Ten segment jest znany jako przekątna równoległościanu. Każdy równoległościan ma cztery przekątne.

Śródmieście

Jest to punkt, w którym przecinają się wszystkie przekątne.

Charakterystyka równoległościanu

Jak już wspomnieliśmy, to geometryczne ciało ma dwanaście krawędzi, sześć ścian i osiem wierzchołków.

W równoległościanie można zidentyfikować trzy zestawy utworzone przez cztery krawędzie, które są równoległe do siebie. Ponadto krawędzie tych zestawów spełniają również tę samą długość.

Inną właściwością równoległościanów jest to, że są wypukłe, to znaczy, jeśli weźmiemy dowolną parę punktów należących do wnętrza równoległościanu, segment wyznaczony przez tę parę punktów będzie również wewnątrz równoległościanu.

Ponadto równoległościany będące wypukłymi wielościanami są zgodne z twierdzeniem Eulera dla wielościanów, co daje nam zależność między liczbą ścian, liczbą krawędzi i liczbą wierzchołków. Ta zależność jest podana w postaci następującego równania:

C + V = A + 2

Ta cecha jest znana jako charakterystyka Eulera.

Gdzie C to liczba ścian, V liczba wierzchołków i A liczba krawędzi.

Typy

Możemy klasyfikować równoległościany na podstawie ich twarzy, w następujących typach:

Ortopedia

Są to równoległościany, w których ich twarze tworzą sześć prostokątów. Każdy prostokąt jest prostopadły do ​​tych, które dzielą krawędź. Są one najbardziej powszechne w naszym codziennym życiu, tak jak zwykłe pudełka na buty i cegły.

Sześcian lub regularny sześcian

Jest to szczególny przypadek poprzedniego, w którym każda z twarzy jest kwadratem.

Sześcian jest również częścią ciał geometrycznych zwanych bryłami platońskimi. Bryła platońska jest wypukłym wielościanem, tak że obie jego powierzchnie i wewnętrzne kąty są sobie równe.

Romboedro

Jest to równoległościan z diamentami na twarzy. Te diamenty są sobie równe, ponieważ dzielą krawędzie.

Romboiedro

Jego sześć twarzy jest romboidami. Przypomnij sobie, że romboid to wielokąt z czterema bokami i czterema kątami, które są równe dwa do dwóch. Romboidy to równoległoboki, które nie są ani kwadratowe, ani prostokątne, ani rombami.

Z drugiej strony ukośne równoległościany to takie, w których co najmniej jedna wysokość nie zgadza się z jego krawędzią. W tej klasyfikacji możemy uwzględnić rombohedrony i rombohedrony.

Obliczenia ukośne

Aby obliczyć przekątną prostopadłościanu, możemy użyć twierdzenia Pitagorasa dla R3.

Przypomnij sobie, że ortoedron ma charakterystykę, że każda strona jest prostopadła do boków, które dzielą krawędź. Z tego faktu możemy wywnioskować, że każda krawędź jest prostopadła do tych, które dzielą wierzchołek.

Aby obliczyć długość przekątnej prostopadłościanu, postępujemy następująco:

1. Obliczamy przekątną jednej z powierzchni, którą opieramy. W tym celu używamy twierdzenia Pitagorasa. Nazwij tę przekątną d _b .

2. Następnie za pomocą db możemy utworzyć nowy trójkąt prawy, tak że przeciwprostokątna tego trójkąta jest poszukiwaną przekątną D.

3. Ponownie używamy twierdzenia Pitagorasa i mamy długość wspomnianej przekątnej:

Innym sposobem obliczania przekątnych w bardziej graficzny sposób jest suma wolnych wektorów.

Przypomnij sobie, że dwa wolne wektory A i B są dodawane przez umieszczenie ogona wektora B z końcówką wektora A.

Wektor (A + B) to ten, który zaczyna się od ogona A i kończy na końcu B.

Rozważmy równoległościan, do którego chcemy obliczyć przekątną.

Identyfikujemy krawędzie z wygodnie zorientowanymi wektorami.

Następnie dodajemy te wektory, a wynikowy wektor będzie przekątną równoległościanu.

Obszar

Obszar równoległościanu jest sumą każdego z obszarów ich powierzchni.

Jeśli określimy jedną ze stron jako podstawę,

A _L + 2A _B = całkowity obszar

Gdzie A _L jest równe sumie obszarów wszystkich boków przylegających do podstawy, zwanych obszarem bocznym, a A _B jest obszarem podstawy.

W zależności od typu równoległościanu, z którym pracujemy, możemy przepisać wzór.

Obszar ortoedronu

Jest podana w formule

A = 2 (ab + bc + ca).

Przykład 1

Biorąc pod uwagę następujące prostopadłościany, o bokach a = 6 cm, b = 8 cm i c = 10 cm, obliczyć powierzchnię równoległościanu i długość jego przekątnej.

Używając wzoru na obszar ortoedronu musimy

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm2.

Zauważ, że ponieważ jest to ortohedron, długość każdego z jego czterech przekątnych jest taka sama.

Używając twierdzenia Pitagorasa dla przestrzeni musimy

D = (62 + 82 + 102) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2

Powierzchnia sześcianu

Ponieważ każda krawędź ma tę samą długość, mamy a = bya = c. Zastępując poprzednią formułę, którą mamy

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a2) = 6a2

A = 6a2

Przykład 2

Pudełko konsoli do gier ma kształt sześcianu. Jeśli chcemy zawinąć to pudełko w papier prezentowy, ile papieru wydalibyśmy, wiedząc, że długość krawędzi sześcianu wynosi 45 cm?

Korzystając z formuły obszaru sześcianu uzyskujemy to

A = 6 (45 cm) 2 = 6 (2025 cm2) = 12150 cm2

Powierzchnia romboedru

Ponieważ wszystkie ich twarze są równe, wystarczy obliczyć obszar jednego z nich i pomnożyć go przez sześć.

Możemy obliczyć obszar diamentu za pomocą jego przekątnych z następującym wzorem

A _R = (Dd) / 2

Używając tej formuły wynika, że ​​całkowity obszar romboedru wynosi

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Przykład 3

Ściany następnego romboedru tworzą romb, którego przekątne wynoszą D = 7 cm i d = 4 cm. Twój obszar będzie

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm2.

Obszar rombu

Aby obliczyć powierzchnię rombu, musimy obliczyć obszar składających się na niego romboidów. Ponieważ równoległościany są zgodne z właściwością, że przeciwległe boki mają ten sam obszar, możemy powiązać boki w trzech parach.

W ten sposób będziemy mieć twój obszar

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Gdzie bi są zasadami związanymi z bokami i _hj ich względną wysokością odpowiadającą wspomnianym podstawom.

Przykład 4

Rozważmy następujący równoległościan,

gdzie strona A i strona A '(jej przeciwna strona) mają podstawę b = 10 i wysokość h = 6. Zaznaczony obszar będzie miał wartość

A1 = 2 (10) (6) = 120

B i B 'mają b = 4, a następnie h = 6

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC i C 'mają b = 10 i h = 5, więc

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Wreszcie obszar romboedru jest

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Objętość równoległościanu

Formuła, która daje nam objętość równoległościanu, jest iloczynem powierzchni jednej z jego powierzchni o wysokości odpowiadającej tej twarzy.

V = A _C h _C

W zależności od rodzaju równoległościanu wspomniany wzór można uprościć.

Mamy więc na przykład, że objętość ortohedronu zostanie określona przez

V = abc.

Gdzie a, b i c oznaczają długość krawędzi ortoedronu.

A w szczególnym przypadku kostki jest

V = a3

Przykład 1

Istnieją trzy różne modele skrzynek plików cookie i chcesz wiedzieć, w którym z tych modeli możesz przechowywać więcej plików cookie, czyli które z nich mają większą objętość.

Pierwszy to sześcian, którego krawędź ma długość a = 10 cm

Jego objętość będzie wynosić V = 1000 cm3

Drugi ma krawędzie b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

A zatem jego objętość wynosi V = 765 cm3

A trzeci ma e = 9 cm, f = 9 cm i g = 13 cm

A jego objętość wynosi V = 1053 cm3

Dlatego pole o największej objętości jest trzecim.

Inną metodą uzyskania objętości równoległościanu jest uciekanie się do algebry wektorów. W szczególności potrójny produkt skalarny.

Jedną z interpretacji geometrycznych, która ma potrójny iloczyn skalarny, jest objętość równoległościanu, którego krawędzie są trzema wektorami, które dzielą ten sam wierzchołek jako punkt wyjścia.

W ten sposób, jeśli mamy równoległościan i chcemy wiedzieć, jaka jest jego objętość, wystarczy przedstawić go w układzie współrzędnych w R3, dopasowując jeden z jego wierzchołków do początku.

Następnie reprezentujemy krawędzie, które zbiegają się w początku z wektorami, jak pokazano na rysunku.

I tak mamy objętość wspomnianego równoległościanu przez

V = | AxB ∙ C |

Lub równoważnie objętość jest wyznacznikiem macierzy 3 × 3, utworzonej przez składniki wektorów krawędzi.

Przykład 2

Reprezentując następujący równoległościan w R3, widzimy, że wektory, które go określają, są następujące

u = (-1, -3, 0), v = (5, 0, 0) oraz w = (-0, 25, -4, 4)

Korzystając z potrójnego produktu skalarnego, który mamy

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3, 0) x (5, 0, 0) = (0, 0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0, 0, - 15) ∙ (-0, 25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Z tego dochodzimy do wniosku, że V = 60

Rozważmy teraz następujący równoległościan w R3, którego krawędzie są wyznaczane przez wektory

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) i C = (3, 4, 4)

Wykorzystuje to determinanty

Mamy więc, że objętość wspomnianego równoległościanu wynosi 112.

Oba są równoważnymi sposobami obliczania objętości.

Idealny równoległościan

Jest znany jako cegła Eulera (lub blok Eulera) do prostopadłościanu, który spełnia właściwość, że zarówno długość jego krawędzi, jak i długość przekątnych każdej jego powierzchni są liczbami całkowitymi.

Chociaż Euler nie był pierwszym naukowcem, który badał ortohedrony, które spełniają tę właściwość, znalazł interesujące ich wyniki.

Mniejszą cegłę Eulera odkrył Paul Halcke, a jej krawędzie mają długość a = 44, b = 117 i c = 240.

Otwarty problem w teorii liczb jest następujący

Czy są doskonałe ortohedrony?

Obecnie nie można było odpowiedzieć na to pytanie, ponieważ nie było możliwe udowodnienie, że te ciała nie istnieją, ale nie znaleziono żadnego z nich.

Jak dotąd pokazano, że istnieją doskonałe równoległościany. Pierwsza odkryta ma długość krawędzi równą 103, 106 i 271.

Bibliografia

1. Guy, R. (1981). Nierozwiązane problemy w teorii liczb. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria Postęp
3. Leithold, L. (1992). OBLICZENIE z geometrią analityczną. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Rysunek techniczny: Księga czynności 3 Matura druga. Tebar
5. Resnick, R., Halliday, D., i Krane, K. (2001). Fizyka Tom 1. Meksyk: Kontynentalny.