Transformata Laplace'a: definicja, historia, do czego służy, właściwości

Transformacja Laplace'a była w ostatnich latach bardzo ważna w badaniach inżynierii, matematyki, fizyki, wśród innych dziedzin naukowych, ponieważ oprócz tego, że cieszy się dużym zainteresowaniem teoretycznym, zapewnia prosty sposób rozwiązywania problemów, które pochodzą z nauki ścisłe i inżynieria.

Pierwotnie transformata Laplace'a została przedstawiona przez Pierre-Simona Laplace'a w jego studium teorii prawdopodobieństwa i początkowo była traktowana jako obiekt matematyczny o interesie teoretycznym.

Obecne zastosowania pojawiają się, gdy różni matematycy próbowali nadać formalne uzasadnienie „zasadom operacyjnym” stosowanym przez Heaviside'a w badaniu równań teorii elektromagnetycznej.

Definicja

Niech f będzie funkcją zdefiniowaną dla t ≥ 0. Transformata Laplace'a jest zdefiniowana następująco:

Mówi się, że przekształcenie Laplace'a istnieje, jeśli poprzednia całka zbiega się, w przeciwnym razie mówi się, że transformata Laplace'a nie istnieje.

Ogólnie, aby oznaczyć funkcję, którą chce się przekształcić, używane są małe litery, a wielka litera odpowiada jej transformacji. W ten sposób będziemy mieć:

Przykłady

Rozważmy funkcję stałą f (t) = 1. Mamy jej transformację:

Zawsze, gdy całka się zbiega, zawsze zapewnia się, że s> 0. W przeciwnym razie, s <0, całka rozbiega się.

Niech g (t) = t. Twoja transformata Laplace'a jest podana przez

Podczas integracji przez części i wiedząc, że te-st dąży do 0, gdy t ma tendencję do nieskończoności i s> 0, razem z poprzednim przykładem mamy to:

Transformacja może, ale nie musi istnieć, na przykład dla funkcji f (t) = 1 / t całka, która definiuje jej transformatę Laplace'a, nie zbiega się i dlatego jej transformacja nie istnieje.

Wystarczające warunki, aby zagwarantować, że transformata Laplace'a funkcji f istnieje, oznacza, że f jest ciągły w częściach dla t ≥ 0 i ma wykładniczy porządek.

Mówi się, że funkcja jest ciągła przez części dla t ≥ 0, gdy dla dowolnego przedziału [a, b] z> 0, istnieje skończona liczba punktów t _k, gdzie f ma nieciągłości i jest ciągła w każdym przedziale [t _k-1, _tk ].

Z drugiej strony mówi się, że funkcja ma wykładniczy porządek c, jeśli istnieją rzeczywiste stałe M> 0, c i T> 0 takie, że:

Jako przykłady mamy, że f (t) = t2 ma porządek wykładniczy, ponieważ | t2 | <e3t dla wszystkich t> 0.

W formalny sposób mamy następujące twierdzenie

Twierdzenie (Wystarczające warunki do istnienia)

Jeśli f jest funkcją ciągłą na część dla t> 0 i porządku wykładniczego c, to istnieje transformata Laplace'a dla s> c.

Ważne jest podkreślenie, że jest to warunek wystarczalności, to znaczy może być tak, że istnieje funkcja, która nie spełnia tych warunków i nawet wtedy istnieje transformata Laplace'a.

Przykładem tego jest funkcja f (t) = t-1/2, która nie jest ciągła w częściach dla t ≥ 0, ale istnieje transformata Laplace'a.

Transformata Laplace'a niektórych podstawowych funkcji

Poniższa tabela pokazuje przekształcenia Laplace'a najczęściej występujących funkcji.

Historia

Transformacja Laplace'a zawdzięcza swoją nazwę Pierre-Simon Laplace'owi, matematykowi i francuskiemu astronomowi teoretycznemu, który urodził się w 1749 r. I zmarł w 1827 r. Jego sława była taka, że był znany jako Newton we Francji.

W 1744 r. Leonard Euler poświęcił swoje badania całkom z formą

jako rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych, ale szybko porzuciły to badanie. Później Joseph Louis Lagrange, który bardzo podziwiał Eulera, również badał ten typ całek i powiązał je z teorią prawdopodobieństwa.

1782, Laplace

W 1782 r. Laplace zaczął badać te całki jako rozwiązania równań różniczkowych i według historyków, w 1785 r. Postanowił przeformułować problem, który później dał początek transformacjom Laplace'a, tak jak są one dzisiaj rozumiane.

Po wprowadzeniu go w teorię prawdopodobieństwa, naukowcy tego okresu byli mało zainteresowani i postrzegani byli jedynie jako obiekt matematyczny o znaczeniu teoretycznym.

Oliver Heaviside

W połowie XIX wieku angielski inżynier Oliver Heaviside odkrył, że operatory różniczkowe mogą być traktowane jako zmienne algebraiczne, dając w ten sposób ich nowoczesne zastosowanie transformatom Laplace'a.

Oliver Heaviside był angielskim fizykiem, elektrykiem i matematykiem, który urodził się w 1850 r. W Londynie i zmarł w 1925 r. Próbując rozwiązać problemy równań różniczkowych stosowanych w teorii drgań i wykorzystując badania Laplace'a, zaczął kształtować nowoczesne zastosowania przekształceń Laplace'a.

Wyniki prezentowane przez Heaviside szybko rozprzestrzeniły się w społeczności naukowej tamtych czasów, ale ponieważ jego nieostrożna praca została szybko skrytykowana przez bardziej tradycyjnych matematyków.

Jednak przydatność pracy Heaviside'a w rozwiązywaniu równań fizyki spowodowała, że jego metody stały się popularne wśród fizyków i inżynierów.

Pomimo tych niepowodzeń i po kilku dekadach nieudanych prób, na początku XX wieku można było podać rygorystyczne uzasadnienie zasad operacyjnych podanych przez Heaviside'a.

Próby te opłaciły się dzięki wysiłkom różnych matematyków, takich jak m.in. Bromwich, Carson, van der Pol.

Właściwości

Wśród właściwości transformaty Laplace'a wyróżniają się:

Liniowość

Niech c1 i c2 będą stałymi, a funkcje f (t) i g (t), których przekształcenia Laplace'a są odpowiednio F (s) i G (s), to musimy:

Ze względu na tę właściwość mówi się, że transformata Laplace'a jest operatorem liniowym.

Przykład

Pierwsze twierdzenie tłumaczenia

Jeśli tak się stanie:

A „a” to dowolna liczba rzeczywista, a następnie:

Przykład

Jako transformata Laplace'a cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) następnie:

Drugie twierdzenie tłumaczenia

Tak

Potem

Przykład

Jeśli f (t) = t ^ 3, to F (s) = 6 / s ^ 4. A zatem transformacja

jest G (s) = 6e-2s / s ^ 4

Zmiana skali

Tak

A „a” jest niezerową rzeczywistością, musimy

Przykład

Ponieważ transformacja f (t) = sin (t) wynosi F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), musi być

ransformacja Laplace'a pochodnych

Jeśli f, f ', f' ', ..., f (n) są ciągłe dla t ≥ 0 i mają wykładniczy porządek, a f (n) (t) jest ciągły w częściach dla t ≥ 0, to

Transformata Laplace'a całek

Tak

Potem

Mnożenie przez tn

Jeśli musimy

Potem

Podział według t

Jeśli musimy

Potem

Funkcje okresowe

Niech f będzie funkcją okresową z okresem T> 0, to znaczy f (t + T) = f (t), a następnie

Zachowanie F (s), gdy s dąży do nieskończoności

Jeśli f jest ciągły w częściach i porządku wykładniczego i

Potem

Transformacje odwrotne

Kiedy zastosujemy transformatę Laplace'a do funkcji f (t), otrzymamy F (s), które reprezentują tę transformację. W ten sam sposób możemy powiedzieć, że f (t) jest odwrotną transformatą Laplace'a F (s) i jest zapisany jako

Wiemy, że przekształcenia Laplace'a f (t) = 1 i g (t) = t wynoszą odpowiednio F (s) = 1 / s oraz G (s) = 1 / s2, dlatego musimy

Niektóre typowe odwrotne transformaty Laplace'a są następujące

Ponadto odwrotna transformata Laplace'a jest liniowa, to znaczy jest spełniona

Ćwiczenie

Znajdź

Aby rozwiązać to ćwiczenie, musimy dopasować funkcję F (s) do jednej z poprzednich tabel. W tym przypadku, jeśli weźmiemy + 1 = 5 i wykorzystamy właściwość liniowości transformaty odwrotnej, pomnożymy i podzielimy przez 4! Pierwsze

Dla drugiej transformacji odwrotnej stosujemy ułamki cząstkowe, aby przepisać funkcję F (s), a następnie właściwość liniowości, uzyskując

Jak widzimy na tych przykładach, powszechne jest, że oceniana funkcja F (s) nie zgadza się dokładnie z żadną z funkcji podanych w tabeli. W takich przypadkach, tak jak jest to obserwowane, wystarczy przepisać funkcję, aż osiągnie odpowiednią formę.

Zastosowania transformaty Laplace'a

Równania różniczkowe

Głównym zastosowaniem przekształceń Laplace'a jest rozwiązywanie równań różniczkowych.

Wykorzystując właściwość transformacji pochodnej jest jasne, że

A z pochodnych n-1 ocenianych w t = 0.

Ta właściwość sprawia, że transformacja jest bardzo przydatna do rozwiązywania problemów z wartościami początkowymi, w których biorą udział równania różniczkowe o stałych współczynnikach.

Poniższe przykłady pokazują, jak użyć transformaty Laplace'a do rozwiązywania równań różniczkowych.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę następujący problem z wartością początkową

Użyj transformaty Laplace'a, aby znaleźć rozwiązanie.

Stosujemy transformatę Laplace'a do każdego elementu równania różniczkowego

Posiadamy własność transformacji pochodnej

Rozwijając wszystkie wyrażenia i oczyszczenie I (s) zostaliśmy

Użycie częściowych frakcji do przepisania prawej strony otrzymanego równania

Wreszcie naszym celem jest znalezienie funkcji y (t), która spełnia równanie różniczkowe. Użycie odwrotnej transformacji Laplace'a daje nam wynik

Przykład 2

Rozwiąż

Podobnie jak w poprzednim przypadku, stosujemy transformację po obu stronach równania i oddzielny termin po terminie.

W ten sposób mamy w rezultacie

Zastępowanie danymi wartościami początkowymi i usuwanie Y (s)

Używając prostych frakcji, możemy przepisać równanie w następujący sposób

I zastosowanie wyniku odwrotnej transformacji Laplace'a daje nam wynik

W tych przykładach można dojść do błędnego wniosku, że ta metoda nie jest dużo lepsza niż tradycyjne metody rozwiązywania równań różniczkowych.

Zalety oferowane przez transformatę Laplace'a polegają na tym, że nie ma potrzeby stosowania zmienności parametrów ani martwienia się o różne przypadki metody współczynnika nieokreślonego.

Oprócz rozwiązywania problemów z wartością początkową za pomocą tej metody, od początku używamy warunków początkowych, więc nie jest konieczne wykonywanie innych obliczeń, aby znaleźć konkretne rozwiązanie.

Układy równań różniczkowych

Transformata Laplace'a może być również wykorzystana do znalezienia rozwiązań równoczesnych równań różniczkowych zwyczajnych, jak pokazuje poniższy przykład.

Przykład

Rozwiąż

W warunkach początkowych x (0) = 8 oczu (0) = 3.

Jeśli musimy

Potem

Rozwiązywanie problemów w nas

A stosując transformatę odwrotną Laplace'a, mamy

Mechanika i obwody elektryczne

Transformacja Laplace'a ma ogromne znaczenie w fizyce, głównie w zastosowaniach dla mechaniki i obwodów elektrycznych.

Prosty obwód elektryczny składa się z następujących elementów

Przełącznik, bateria lub źródło, cewka indukcyjna, rezystor i kondensator. Gdy przełącznik jest zamknięty, wytwarzany jest prąd elektryczny oznaczony przez i (t). Ładunek kondensatora jest oznaczony przez q (t).

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa napięcie wytwarzane przez źródło E do obwodu zamkniętego musi być równe sumie każdego z spadków napięcia.

Prąd elektryczny i (t) jest związany z ładunkiem q (t) w kondensatorze przez i = dq / dt. Z drugiej strony spadek napięcia jest zdefiniowany w każdym z elementów w następujący sposób:

Spadek napięcia w rezystorze wynosi iR = R (dq / dt)

Spadek napięcia na cewce indukcyjnej wynosi L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Spadek napięcia na kondensatorze to q / C

Dzięki tym danym i zastosowaniu drugiego prawa Kirchhoffa do zamkniętego obwodu prostego uzyskuje się równanie różniczkowe drugiego rzędu, które opisuje układ i pozwala określić wartość q (t).

Przykład

Cewka indukcyjna, kondensator i rezystor są podłączone do akumulatora E, jak pokazano na rysunku. Induktor ma 2 henary, kondensator 0, 02 faradów i rezystancję 16 onhm. W czasie t = 0 obwód jest zamknięty. Znajdź obciążenie i prąd w dowolnym momencie t> 0, jeśli E = 300 woltów.