13 klas zestawów i przykładów

Klasy zbiorów można klasyfikować jako równe, skończone i nieskończone, podzbiory, puste, rozłączne lub rozłączne, równoważne, jednolite, nakładające się lub nakładające się, przystające i nieprzystające, między innymi.

Zestaw to zbiór obiektów, ale konieczne są nowe terminy i symbole, aby móc rozsądnie mówić o zestawach.

W zwykłym języku znaczenie nadawane jest światu, w którym żyjemy, klasyfikując rzeczy. Hiszpański ma wiele słów na takie kolekcje. Na przykład „stado ptaków”, „stado bydła”, „rój pszczół” i „kolonia mrówek”.

W matematyce dzieje się coś podobnego, gdy klasyfikowane są liczby, figury geometryczne itp. Obiekty tych zestawów nazywane są elementami zestawu.

Opis zestawu

Zestaw można opisać, wymieniając wszystkie jego elementy. Na przykład

S = {1, 3, 5, 7, 9}.

„S to zestaw, którego elementy to 1, 3, 5, 7 i 9”. Pięć elementów zestawu jest oddzielonych przecinkami i znajduje się w nawiasach klamrowych.

Zestaw można również rozgraniczyć, przedstawiając definicję jego elementów w nawiasach. Zatem powyższy zestaw S można również zapisać jako:

S = {nieparzyste liczby całkowite mniejsze niż 10}.

Zestaw musi być dobrze zdefiniowany. Oznacza to, że opis elementów zestawu musi być jasny i jednoznaczny. Na przykład {wysocy ludzie} nie są zestawem, ponieważ ludzie nie zgadzają się z tym, co oznacza „wysoki”. Przykładem dobrze zdefiniowanego zestawu jest

T = {litery alfabetu}.

Rodzaje zestawów

1- Równe zestawy

Dwa zestawy są takie same, jeśli mają dokładnie te same elementy.

Na przykład:

Jeśli A = {Wokal alfabetu} i B = {a, e, i, o, u}, to mówi się, że A = B.
Z drugiej strony zbiory {1, 3, 5} i {1, 2, 3} nie są takie same, ponieważ mają różne elementy. Jest to napisane jako {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
Kolejność, w jakiej elementy są zapisywane w nawiasach, nie ma znaczenia. Na przykład {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
Jeśli element pojawi się na liście więcej niż jeden raz, jest liczony tylko raz. Na przykład {a, a, b} = {a, b}.

Zestaw {a, a, b} ma tylko dwa elementy aib. Druga wzmianka o a jest niepotrzebnym powtórzeniem i może zostać zignorowana. Zwykle uważa się, że notacja jest zła, gdy przedmiot jest wymieniony więcej niż raz.

2- Zestawy skończone i nieskończone

Skończone zbiory to takie, w których wszystkie elementy zestawu mogą być policzone lub wymienione. Oto dwa przykłady:

{Liczba całkowita od 2000 do 2, 005} = {2, 001, 2, 002, 2, 003, 2, 004}
{Liczba całkowita między 2000 a 3000} = {2, 001, 2, 002, 2, 003, ..., 2, 999}

Trzy punkty „...” w drugim przykładzie reprezentują pozostałe 995 liczb w zestawie. Wszystkie elementy mogły zostać wymienione, ale aby zaoszczędzić miejsce, zamiast nich użyto punktów. Ta notacja może być użyta tylko wtedy, gdy jest całkowicie jasne, co to znaczy, jak w tej sytuacji.

Zestaw może być także nieskończony - liczy się tylko to, że jest dobrze zdefiniowany. Oto dwa przykłady nieskończonych zbiorów:

{Liczby parzyste i całkowite większe lub równe dwóm} = {2, 4, 6, 8, 10, ...}
{Liczba całkowita większa niż 2000} = {2, 001, 2, 002, 2, 003, 2, 004, ...}

Oba zestawy są nieskończone, ponieważ bez względu na to, ile elementów spróbujesz wyliczyć, zawsze jest więcej elementów w zestawie, których nie można wymienić, bez względu na to, jak długo próbujesz. Tym razem punkty „...” mają nieco inne znaczenie, ponieważ reprezentują nieskończenie wiele elementów nie wymienionych.

3- Ustawia podzbiory

Podzbiór jest częścią zestawu.

Przykład: Sowy są szczególnym rodzajem ptaka, więc każda sowa jest również ptakiem. W języku zbiorów wyraża się to stwierdzeniem, że zbiór sów jest podzbiorem zbioru ptaków.

Zestaw S nazywany jest podzbiorem innego zestawu T, jeśli każdy element S jest elementem T. Jest to napisane jako:

S ⊂ T (Odczyt „S jest podzbiorem T”)

Nowy symbol ⊂ oznacza „jest podzbiorem”. Więc {sowy} ⊂ {ptaki}, ponieważ każda sowa jest ptakiem.

Jeśli A = {2, 4, 6} i B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, to A ⊂ B,

Ponieważ każdy element A jest elementem B.

Symbol ⊄ oznacza „nie jest podzbiorem”.

Oznacza to, że co najmniej jeden element S nie jest elementem T. Na przykład:

{Ptaki} ⊄ {latające stworzenia}

Ponieważ struś jest ptakiem, ale nie lata.

Jeśli A = {0, 1, 2, 3, 4} i B = {2, 3, 4, 5, 6}, to A ⊄

Ponieważ 0 ∈ A, ale 0 ∉ B, odczytuje „0 należy do zestawu A”, ale „0 nie należy do zestawu B”.

4- Pusty zestaw

Symbol Ø reprezentuje pusty zestaw, który jest zbiorem bez elementów. Nic w całym wszechświecie nie jest elementem Ø:

| Ø | = 0 i X ∉ Ø, nie ma znaczenia, co może być X.

Jest tylko jeden pusty zestaw, ponieważ dwa puste zestawy mają dokładnie te same elementy, więc muszą być sobie równe.

5- Zestawy rozłączne lub rozłączne

Dwa zestawy nazywane są rozłącznymi, jeśli nie mają wspólnych elementów. Na przykład:

Zestawy S = {2, 4, 6, 8} i T = {1, 3, 5, 7} są rozłączne.

6- Zestawy równoważne

Mówi się, że A i B są równoważne, jeśli mają taką samą liczbę elementów, które je tworzą, to znaczy liczba kardynalna zbioru A jest równa liczbie kardynalnej zbioru B, n (A) = n (B). Symbolem oznaczającym równoważny zestaw jest „↔”.

Na przykład:
A = {1, 2, 3}, zatem n (A) = 3
B = {p, q, r}, zatem n (B) = 3
Dlatego A ↔ B

7- Zestawy jednostkowe

Jest to zestaw, który zawiera dokładnie jeden element. Innymi słowy, istnieje tylko jeden element, który tworzy całość.

Na przykład:

S = {a}
Niech B = {jest liczbą pierwszą parzystą}

Dlatego B jest zbiorem jednostkowym, ponieważ jest tylko jedna liczba pierwsza, która jest równa, czyli 2.

8 - Zestaw uniwersalny lub referencyjny

Uniwersalny zestaw to zbiór wszystkich obiektów w określonym kontekście lub teorii. Wszystkie pozostałe zbiory w tej ramce stanowią podzbiory uniwersalnego zestawu, który nazywa się wielką literą i kursywą U.

Dokładna definicja U zależy od rozważanego kontekstu lub teorii. Na przykład:

Możesz zdefiniować U jako zbiór wszystkich żywych istot na planecie Ziemi. W takim przypadku zbiór wszystkich kotów jest podzbiorem U, zbiór wszystkich ryb jest innym podzbiorem U.
Jeśli zdefiniujemy U jako zbiór wszystkich zwierząt na planecie Ziemia, wówczas zbiór wszystkich kotów jest podzbiorem U, zbiór wszystkich ryb jest innym podzbiorem U, ale zbiór wszystkich drzew nie jest podzbiór U.