Czym są ukośne trójkąty? (z rozwiązanymi ćwiczeniami)
Ukośne trójkąty to te trójkąty, które nie są prostokątami. Oznacza to, że trójkąty takie, że żaden z jego kątów nie jest kątem prostym (jego pomiar wynosi 90º).
Bez kąta prostego twierdzenie Pitagorasa nie może być zastosowane do tych trójkątów.
Dlatego, aby poznać dane w trójkącie ukośnym, konieczne jest użycie innych formuł.
Formuły niezbędne do rozwiązania trójkąta ukośnego to tak zwane prawa sinusów i cosinusów, które zostaną opisane później.
Oprócz tych praw zawsze można wykorzystać fakt, że suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180º.
Ukośne trójkąty
Jak powiedziano na początku, trójkąt ukośny jest trójkątem tak, że żaden z jego kątów nie wynosi 90 °.
Problem znalezienia długości boków trójkąta ukośnego, jak również znalezienia pomiarów ich kątów, nazywany jest „rozdzielczością ukośnych trójkątów”.
Ważnym faktem podczas pracy z trójkątami jest to, że suma trzech kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180º. Jest to wynik ogólny, dlatego dla trójkątów ukośnych można go również zastosować.
Prawa piersi i cosinusów
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC o bokach długości „a”, „b” i „c”:
- Prawo piersi stwierdza, że a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), gdzie A, B i C są przeciwnymi kątami do «a», «b» i «c »Odpowiednio.
- Prawo cosinusów mówi, że: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Równoważnie można użyć następujących wzorów:
b² = a² + c² - 2ac * cos (B) lub a² = b² + c² - 2bc * cos (A).
Za pomocą tych wzorów można obliczyć dane trójkąta ukośnego.
Ćwiczenia
Poniżej znajdują się ćwiczenia, w których należy znaleźć brakujące dane z podanych trójkątów na podstawie pewnych danych.
Pierwsze ćwiczenie
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC taki, że A = 45º, B = 60º i a = 12cm, oblicz pozostałe dane trójkąta.
Rozwiązanie
Używając, że suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180º, musisz
C = 180º-45º-60º = 75º.
Te trzy kąty są już znane. Następnie postępuj zgodnie z prawem piersi, aby obliczyć brakujące dwie strony.
Stworzone równania to 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).
Od pierwszej równości możesz usunąć „b” i uzyskać
b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14, 696 cm.
Możesz także wyczyścić „c” i uzyskać to
c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16 392 cm.
Drugie ćwiczenie
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC taki, że A = 60º, C = 75º i b = 10cm, oblicz pozostałe dane trójkąta.
Rozwiązanie
Podobnie jak w poprzednim ćwiczeniu, B = 180º-60º-75º = 45º. Ponadto, stosując prawo piersi konieczne jest, aby a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), z którego uzyskano a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12, 247 cm i c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13 660 cm.
Trzecie ćwiczenie
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC taki, że a = 10 cm, b = 15 cm i C = 80 °, oblicz pozostałe dane trójkąta.
Rozwiązanie
W tym ćwiczeniu znany jest tylko jeden kąt, dlatego nie można rozpocząć tak jak w dwóch poprzednich ćwiczeniach. Nie można również zastosować prawa piersi, ponieważ nie można rozwiązać żadnego równania.
Dlatego przystępujemy do stosowania prawa cosinusów. To jest wtedy
c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0, 173 ≈ 272, 905 cm,
tak, że c ≈ 16, 51 cm. Teraz, znając trzy strony, stosuje się prawo piersi i dostajesz
10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16, 51 cm / sin (80 °).
Stąd, po wyczyszczeniu B, wynik jest bez (B) = 15 * sin (80º) / 16, 51 1 0, 894, co oznacza, że B ≈ 63, 38º.
Teraz można uzyskać, że A = 180º - 80º - 63, 38º ≈ 36, 62º.
Czwarte ćwiczenie
Boki trójkąta ukośnego to a = 5 cm, b = 3 cm i c = 7 cm. Oblicz kąty trójkąta.
Rozwiązanie
Ponownie, prawo piersi nie może być stosowane bezpośrednio, ponieważ żadne równanie nie posłużyłoby do uzyskania wartości kątów.
Korzystając z prawa cosinusu, mamy c² = a² + b² - 2ab cos (C), gdzie, gdy wyjaśnimy, mamy cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2, a zatem C = 120º.
Teraz, jeśli możesz zastosować prawo piersi i uzyskać 5 / grzech (A) = 3 / grzech (B) = 7 / grzech (120), gdzie możesz wyczyścić B i uzyskać to bez (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0, 371, tak że B = 21, 79º.
Ostatecznie ostatni kąt oblicza się za pomocą A = 180º-120º-21, 79º = 38, 21º.
