Dekompozycja liczb naturalnych (z przykładami i ćwiczeniami)
Dekompozycja liczb naturalnych może występować na różne sposoby: jako iloczyn czynników pierwszych, jako suma mocy dwóch i rozkładu addytywnego. Zostaną one szczegółowo wyjaśnione poniżej.
Użyteczną właściwością, która ma moc dwóch jest to, że dzięki nim możesz przekonwertować dziesiętny numer systemowy na binarny numer systemu. Na przykład 7 (liczba w systemie dziesiętnym) jest równoważna liczbie 111, ponieważ 7 = (2 ^ 2) + (2 ^ 1) + (2 ^ 0).
Liczby naturalne to liczby, za pomocą których można policzyć i wymienić obiekty. W większości przypadków liczby naturalne są uważane za rozpoczynające się od 1. Liczby te są nauczane w szkole i są przydatne w prawie każdej czynności życia codziennego.
Sposoby rozkładania liczb naturalnych
Jak wspomniano wcześniej, oto trzy różne sposoby na rozbicie liczb naturalnych.
Rozkład jako produkt czynników pierwszych
Każda liczba naturalna może być wyrażona jako iloczyn liczb pierwszych. Jeśli liczba jest już pierwsza, jej rozkład jest pomnożony przez jeden.
Jeśli nie, dzieli się na najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą jest podzielna (może to być jeden lub kilka razy), aż do uzyskania liczby pierwszej.
Na przykład:
5 = 5 * 1.
15 = 3 * 5.
28 = 2 * 2 * 7.
624 = 2 * 312 = 2 * 2 * 156 = 2 * 2 * 2 * 78 = 2 * 2 * 2 * 2 * 39 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 13.
175 = 5 * 35 = 5 * 5 * 7.
Dekompozycja jako suma mocy 2
Inną interesującą właściwością jest to, że każda liczba naturalna może być wyrażona jako suma mocy 2. Na przykład:
1 = 2 ^ 0.
2 = 2 ^ 1.
3 = 2 ^ 1 + 2 ^ 0.
4 = 2 ^ 2.
5 = 2 ^ 2 + 2 ^ 0.
6 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1.
7 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.
8 = 2 ^ 3.
15 = 2 ^ 3 + 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.
Rozkład addytywny
Innym sposobem dekompozycji liczb naturalnych jest uwzględnienie ich systemu liczb dziesiętnych i wartości pozycyjnej każdej liczby.
Uzyskuje się to biorąc pod uwagę liczby od prawej do lewej i począwszy od jednostki, dekady, setki, jednostki tysiąca, dziesięciu tysięcy, stu tysięcy, jednostki miliona itd. Ta jednostka jest mnożona przez odpowiedni system numerowania.
Na przykład:
239 = 2 * 100 + 3 * 10 + 9 * 1 = 200 + 30 + 9.
4893 = 4 * 1000 + 8 * 100 + 9 * 10 + 3 * 1.
Ćwiczenia i rozwiązania
Rozważmy liczbę 865236. Znajdźmy jej rozkład na iloczyn liczb pierwszych, sumy mocy 2 i rozkładu addytywnego.
Dekompozycja w postaci liczb pierwszych
-Jak 865236 jest równy, upewnij się, że najmniejszy kuzyn, dla którego jest podzielny, wynosi 2.
-Podział między 2 otrzymasz: 865236 = 2 * 432618. Ponownie uzyskuje się liczbę parzystą.
- Kontynuuje dzielenie, aż do uzyskania nieparzystej liczby. Następnie: 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309.
-Ostatnia liczba jest nieparzysta, ale jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr jest nieparzysta.
-So, 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309 = 2 * 2 * 3 * 72103. Liczba 72103 jest liczbą pierwszą.
-W związku z tym pożądany rozkład jest ostatnim.
Dekompozycja w sumie mocy 2
- Poszukiwana jest najwyższa moc 2, która jest najbliższa 865236.
-To jest 2 ^ 19 = 524288. Teraz powtórzono to samo dla różnicy 865236 - 524288 = 340948.
-Najbliższa moc w tym przypadku to 2 ^ 18 = 262144. Teraz następuje 340948-262144 = 78804.
- W tym przypadku najbliższa moc wynosi 2 ^ 16 = 65536. Kontynuuj 78804 - 65536 = 13268 i otrzymasz, że najbliższa moc wynosi 2 ^ 13 = 8192.
-Teraz 13268 - 8192 = 5076, a otrzymasz 2 ^ 12 = 4096.
-Następnie z 5076 - 4096 = 980 i mamy 2 ^ 9 = 512. Kontynuujemy z 980 - 512 = 468, a najbliższa moc wynosi 2 ^ 8 = 256.
-Teraz 468 - 256 = 212 z 2 ^ 7 = 128.
-Następnie 212 - 128 = 84 z 2 ^ 6 = 64.
- Teraz 84 - 64 = 20 z 2 ^ 4 = 16.
-A wreszcie 20 - 16 = 4 z 2 ^ 2 = 4.
Wreszcie musisz:
865236 = 2 ^ 19 + 2 ^ 18 + 2 ^ 16 + 2 ^ 13 + 2 ^ 12 + 2 ^ 9 + 2 ^ 8 + 2 ^ 7 + 2 ^ 6 + 2 ^ 4 + 2 ^ 2.
Rozkład addytywny
Identyfikując jednostki, które mamy, jednostka odpowiada liczbie 6, dziesięć do 3, sto do 2, jednostka tysiąca do 5, dziesięć tysięcy do 6 i sto tysięcy do 8.
Potem
865236 = 8 * 100 000 + 6 * 10 000 + 5 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 6
= 800 000 + 60 000 + 5 000 + 200 + 30 + 6.
