Zasada multiplikatywności: techniki liczenia i przykłady
Zasada multiplikatywności jest techniką używaną do rozwiązywania problemów z liczeniem w celu znalezienia rozwiązania bez konieczności wymieniania jego elementów. Jest również znany jako podstawowa zasada analizy kombinatorycznej; opiera się na sukcesywnym mnożeniu, aby określić sposób, w jaki zdarzenie może wystąpić.
Zasada ta stanowi, że jeśli decyzja (d 1 ) może zostać podjęta na różne sposoby, a inna decyzja (d 2 ) może zostać podjęta w różny sposób, całkowita liczba sposobów, w jakie decyzje mogą być podejmowane d 1 id 2 będą równe pomnożyć od n * m. Zgodnie z zasadą każda decyzja jest podejmowana jedna po drugiej: liczba sposobów = N 1 * N 2 ... * X sposobów.
Przykłady
Przykład 1
Paula planuje pójść z przyjaciółmi do kina, a żeby wybrać ubrania, które będzie nosić, oddziela 3 bluzki i 2 spódnice. Ile sposobów może ubrać Paula?
Rozwiązanie
W tym przypadku Paula musi podjąć dwie decyzje:
d 1 = Wybierz pomiędzy 3 bluzkami = n
d 2 = Wybierz pomiędzy 2 spódnicami = m
W ten sposób Paula ma n * m decyzji o ubieraniu się lub różnych sposobach ubierania się.
n * m = 3 * 2 = 6 decyzji.
Zasada multiplikatywności pochodzi z techniki diagramu drzewa, który jest diagramem, który wiąże wszystkie możliwe wyniki, tak że każdy może wystąpić skończoną liczbę razy.
Przykład 2
Mario był bardzo spragniony, więc poszedł do piekarni, żeby kupić sok. Luis odpowiada mu i mówi mu, że ma dwa rozmiary: duży i mały; i cztery smaki: jabłko, pomarańcza, cytryna i winogrono. Na ile sposobów Mario może wybrać sok?
Rozwiązanie
Na diagramie widać, że Mario ma 8 różnych sposobów wyboru soku i że, jak w zasadzie multiplikatywnej, wynik ten uzyskuje się przez mnożenie n * m. Jedyną różnicą jest to, że dzięki temu diagramowi możesz wiedzieć, w jaki sposób Mario wybiera sok.
Z drugiej strony, gdy liczba możliwych wyników jest bardzo duża, bardziej praktyczne jest zastosowanie zasady multiplikatywnej.
Techniki liczenia
Techniki zliczania są metodami używanymi do bezpośredniego liczenia, a zatem znają liczbę możliwych układów, które mogą mieć elementy danego zestawu. Techniki te opierają się na kilku zasadach:
Zasada dodawania
Zasada ta stanowi, że jeśli dwa zdarzenia m i n nie mogą wystąpić w tym samym czasie, liczba sposobów, w których może wystąpić pierwsze lub drugie zdarzenie, będzie sumą m + n:
Liczba form = m + n ... + x różne formy.
Przykład
Antonio chce wybrać się w podróż, ale nie decyduje, do którego celu; w South Tourism Agency oferują ci promocję podróży do Nowego Jorku lub Las Vegas, podczas gdy East Tourism Agency zaleca podróż do Francji, Włoch lub Hiszpanii. Ile różnych opcji podróży oferuje Ci Antonio?
Rozwiązanie
Z South Tourism Agency Antonio ma 2 alternatywy (Nowy Jork lub Las Vegas), natomiast z East Tourism Agency ma 3 opcje (Francja, Włochy lub Hiszpania). Liczba różnych alternatyw to:
Liczba alternatyw = m + n = 2 + 3 = 5 alternatyw.
Zasada permutacji
Chodzi o zamawianie w szczególności wszystkich lub niektórych elementów składających się na zestaw, aby ułatwić zliczanie wszystkich możliwych ustaleń, które można wykonać za pomocą elementów.
Liczba permutacji n różnych elementów, wykonanych jednocześnie, jest reprezentowana jako:
n P n = n!
Przykład
Czterech przyjaciół chce zrobić zdjęcie i chce wiedzieć, ile różnych form można zamówić.
Rozwiązanie
Chcesz poznać zestaw wszystkich możliwych sposobów umieszczenia 4 osób w celu zrobienia zdjęcia. Więc musisz:
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 różne formy.
Jeśli liczba permutacji n dostępnych elementów jest pobierana przez części zbioru, które są utworzone przez elementy r, to jest reprezentowane jako:
n P r = n! ÷ (n - r)!
Przykład
W pokoju szkolnym jest 10 stanowisk. Jeśli 4 uczniów uczęszcza na zajęcia, na ile różnych sposobów uczniowie mogą zajmować stanowiska?
Rozwiązanie
Łączna liczba krzeseł wynosi 10, z których zostanie użyta tylko 4. Podana formuła jest stosowana do określenia liczby permutacji:
n P r = n! ÷ (n - r)!
10 P 4 = 10! ÷ (10 - 4)!
10 P 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 sposobów wypełnienia pozycji.
Istnieją przypadki, w których niektóre z dostępnych elementów zestawu są powtarzane (są takie same). Aby obliczyć liczbę aranżacji przyjmujących wszystkie elementy jednocześnie, stosuje się następującą formułę:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !
Przykład
Ile różnych słów czterech liter można utworzyć ze słowa „wilk”?
Rozwiązanie
W tym przypadku mamy 4 elementy (litery), z których dwa są dokładnie takie same. Stosując podaną formułę wiemy, ile różnych słów to:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !
4 P 2, 1, 1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 różnych słów.
Zasada połączenia
Chodzi o ustalenie wszystkich lub niektórych elementów tworzących zestaw bez określonej kolejności. Na przykład, jeśli masz tablicę XYZ, będzie ona identyczna z tablicami ZXY, YZX, ZYX, między innymi; Dzieje się tak, ponieważ pomimo braku takiej samej kolejności elementy każdego układu są takie same.
Gdy niektóre elementy (r) zestawu (n) są pobierane, zasada kombinacji jest podana przez następujący wzór:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
Przykład
W sklepie sprzedają 5 różnych rodzajów czekolady. Ile różnych sposobów możesz wybrać 4 czekoladki?
Rozwiązanie
W tym przypadku musisz wybrać 4 czekoladki z 5 rodzajów sprzedawanych w sklepie. Kolejność, w jakiej są wybierane, nie ma znaczenia, a ponadto rodzaj czekolady można wybrać więcej niż dwa razy. Stosując formułę, musisz:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
5 C 4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!
5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 różnych sposobów wyboru 4 czekoladek.
Gdy wszystkie elementy (r) zestawu (n) są pobierane, zasada kombinacji jest podana przez następujący wzór:
n C n = n!
Rozwiązane ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Masz drużynę baseballową z 14 członkami. Na ile sposobów można przypisać 5 pozycji do gry?
Rozwiązanie
Zestaw składa się z 14 elementów i chcesz przypisać 5 określonych pozycji; to znaczy, że porządek ma znaczenie. Formuła permutacji jest stosowana tam, gdzie n dostępnych elementów jest pobieranych przez części zbioru utworzone przez r.
n P r = n! ÷ (n - r)!
Gdzie n = 14 r = 5. Jest on podstawiony we wzorze:
14 P 5 = 14! ÷ (14 - 5)!
14 P 5 = 14! ÷ (9)!
14 P 5 = 240 240 sposobów przypisywania 9 pozycji w grze.
Ćwiczenie 2
Jeśli 9-osobowa rodzina wyjeżdża na wycieczkę i kupuje bilety z kolejnymi miejscami, na ile różnych sposobów mogą siedzieć?
Rozwiązanie
Składa się z 9 elementów, które zajmują kolejno 9 miejsc.
P 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 różnych sposobów siedzenia.
