Twierdzenie Moivre'a: co ono składa, demonstracja i ćwiczenia

Twierdzenie Moivre'a stosuje podstawowe procesy algebry, takie jak moce i ekstrakcja korzeni w liczbach zespolonych. Twierdzenie zostało wypowiedziane przez znanego francuskiego matematyka Abrahama de Moivre'a (1730), który powiązał liczby zespolone z trygonometrią.

Abraham Moivre dokonał tego skojarzenia poprzez ekspresję piersi i cosinusa. Ten matematyk wygenerował rodzaj formuły, dzięki której możliwe jest podniesienie liczby zespolonej za pomocą siły n, która jest liczbą całkowitą dodatnią większą lub równą 1.

Jakie jest twierdzenie Moivre'a?

Twierdzenie Moivre'a brzmi następująco:

Jeśli mamy liczbę zespoloną w postaci polarnej z = r _complex, gdzie r jest modułem liczby zespolonej z, a kąt Ɵ nazywamy amplitudą lub argumentem dowolnej liczby zespolonej z 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, aby obliczyć jego n- Ta moc nie będzie konieczna, aby pomnożyć ją n-razy; to znaczy, nie ma potrzeby tworzenia następującego produktu:

Zn = z _* z _* z _*. _, _{. *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *.} _, _{. *} r-n-razy.

Przeciwnie, twierdzenie mówi, że pisząc z w swojej trygonometrycznej formie, aby obliczyć n-tą moc, postępujemy następująco:

Jeśli z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), to zn = rn (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Na przykład, jeśli n = 2, to z2 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Jeśli masz to n = 3, to z3 = z2 _* z. Ponadto:

z3 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r3 [cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

W ten sposób można uzyskać stosunki trygonometryczne sinusów i cosinusów dla wielokrotności kąta, o ile znane są stosunki trygonometryczne kąta.

W ten sam sposób można go użyć do znalezienia bardziej precyzyjnych i mniej mylących wyrażeń dla n-tego korzenia liczby zespolonej z, tak że zn = 1.

Aby zademonstrować twierdzenie Moivre'a, stosuje się zasadę indukcji matematycznej: jeśli liczba całkowita „a” ma właściwość „P”, a jeśli dla dowolnej liczby całkowitej „n” jest większa niż „a” z właściwością „P”, to spełnia, że n + 1 ma również właściwość „P”, więc wszystkie liczby całkowite większe lub równe „a” mają właściwość „P”.

Demonstracja

W ten sposób dowód twierdzenia jest wykonywany w następujących krokach:

Podstawa indukcyjna

Najpierw sprawdź n = 1.

Jak z1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) 1 = r1 (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) 1 = r1 [cos (1 _* Ɵ) + i _* sin (1 _* Ɵ)], mamy że dla n = 1 twierdzenie jest spełnione.

Hipoteza indukcyjna

Zakłada się, że formuła jest prawdziwa dla pewnej dodatniej liczby całkowitej, to znaczy n = k.

zk = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k = rk (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Sprawdzanie

Okazało się, że jest prawdziwe dla n = k + 1.

Ponieważ zk + 1 = zk _* z, to zk + 1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k + 1 = rk (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* sinƟ),

Następnie wyrażenia mnożą się:

zk + 1 = rk + 1 ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* sinƟ )).

Przez chwilę współczynnik rk + 1 jest ignorowany, a wspólny współczynnik i jest wyodrębniany:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i2 (sin kƟ) _* (sinƟ).

Jako i2 = -1 zastępujemy go w wyrażeniu i otrzymujemy:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Teraz część rzeczywista i część urojona są uporządkowane:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i [(sin kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (sinƟ)].

Aby uprościć wyrażenie, stosuje się trygonometryczne tożsamości sumy kątów cosinusu i sinusu, które są:

cos (A + B) = cos A _* cos B - grzech A _* grzech B.

grzech (A + B) = grzech A _* cos B - cos A _* cos B.

W tym przypadku zmiennymi są kąty Ɵ i kƟ. Stosując tożsamości trygonometryczne, mamy:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = grzech (kƟ + Ɵ)

W ten sposób pozostaje wyrażenie:

zk + 1 = rk + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

zk + 1 = rk + 1 (cos [(k + 1) Ɵ] + i _* sin [(k +1) Ɵ]).

W ten sposób można wykazać, że wynik jest prawdziwy dla n = k + 1. Zgodnie z zasadą indukcji matematycznej stwierdza się, że wynik jest prawdziwy dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych; to znaczy n ≥ 1.

Liczba całkowita ujemna

Twierdzenie Moivre'a jest również stosowane, gdy n ≤ 0. Rozważmy ujemną liczbę całkowitą «n»; wtedy „n” można zapisać jako „-m”, to znaczy n = -m, gdzie „m” jest dodatnią liczbą całkowitą. Dlatego:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) -m

Aby uzyskać wykładnik «m», wyrażenie jest napisane w odwrotnej kolejności:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Teraz używa się tego, że jeśli z = a + b * i jest liczbą zespoloną, to 1 ÷ z = ab * i. Dlatego:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Używając cos (x) = cos (-x) i że -sen (x) = sin (-x), musimy:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = [cos (mƟ) - i _* sin (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

W ten sposób można powiedzieć, że twierdzenie dotyczy wszystkich wartości całkowitych „n”.

Rozwiązane ćwiczenia

Obliczanie pozytywnych mocy

Jedną z operacji z liczbami zespolonymi w formie polarnej jest mnożenie się dwóch z nich; w takim przypadku moduły są mnożone, a argumenty dodawane.

Jeśli masz dwie liczby zespolone z _{1 i} z ₂ i chcesz obliczyć (z ₁ * z ₂ ) 2, wykonaj następujące czynności:

z ₁ z ₂ = [r ₁ (cos Ɵ ₁ + i _* sin Ɵ ₁ )] * [r ₂ (cos Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ ₂ )]

Stosowana jest właściwość dystrybucji:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i2 _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ),

Są zgrupowane, przyjmując termin „i” jako wspólny czynnik wyrażeń:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) + i2 _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ]

Jako i2 = -1 jest zastępowany w wyrażeniu:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) - sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ]

Prawdziwe terminy są przegrupowane z prawdziwymi i wyimaginowanymi z wyobrażeniami:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [(cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ - sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ) + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ )]

Na koniec stosuje się właściwości trygonometryczne:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i grzech (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

Podsumowując:

(z ₁ * z ₂ ) 2 = (r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i grzech (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )]) 2

= r ₁ 2r ₂ 2 [cos 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

Ćwiczenie 1

Wpisz liczbę zespoloną w formie polarnej, jeśli z = - 2 -2i. Następnie, używając twierdzenia Moivre'a, oblicz z4.

Rozwiązanie

Liczba zespolona z = -2 -2i jest wyrażona w postaci prostokątnej z = a + bi, gdzie:

a = -2.

b = -2

Wiedząc, że forma polarna jest z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), musimy określić wartość modułu «r» i wartość argumentu «Ɵ». Ponieważ r = √ (a² + b²), podane wartości są zastępowane:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Następnie, aby określić wartość «Ɵ», stosuje się prostokątną formę tego, która jest określona wzorem:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Ponieważ tan (Ɵ) = 1 i masz to do <0, musisz:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Ponieważ wartość „r” i „Ɵ” została już uzyskana, liczba zespolona z = -2 -2i może być wyrażona w formie polarnej przez podstawienie wartości:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Teraz twierdzenie Moivre'a służy do obliczenia z4:

z4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) 4

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Ćwiczenie 2

Znajdź produkt liczb zespolonych, wyrażając go w formie polarnej:

z1 = 4 (cos 50o + i _* sin 50o)

z2 = 7 (cos 100o + i _* sin 100o).

Następnie oblicz (z1 * z2) ².

Rozwiązanie

Najpierw tworzony jest produkt podanych liczb:

z ₁ z ₂ = [4 (cos 50o + i _* sin 50o)] * [7 (cos 100o + i _* sin 100o)]

Następnie pomnóż moduły razem i dodaj argumenty:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _* [cos (50o + 100o) + i _* sin (50o + 100o)]

Wyrażenie jest uproszczone:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o).

Wreszcie stosuje się twierdzenie Moivre'a:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o)) ² = 784 (cos 300o + (i _* sin 300o)).

Obliczanie mocy ujemnych

Aby podzielić dwie liczby zespolone z _{1 i} z ₂ na ich postać polarną, moduł jest podzielony i argumenty są odejmowane. Zatem iloraz wynosi z ₁ ÷ z ₂ i wyraża się następująco:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ ₁ - Ɵ ₂ ) + i grzech (Ɵ ₁ - Ɵ ₂ )]).

Podobnie jak w poprzednim przypadku, jeśli chcesz obliczyć (z1 ÷ z2) ³ najpierw dokonujemy podziału, a następnie stosuje się twierdzenie Moivre'a.