Tales of Miletus Theorem: Pierwsze, drugie i przykłady

Pierwsze i drugie twierdzenie Tales of Miletus opiera się na określeniu trójkątów na podstawie innych podobnych (pierwsze twierdzenie) lub obwodów (drugie twierdzenie). Były bardzo przydatne w różnych dziedzinach. Na przykład pierwsze twierdzenie okazało się bardzo przydatne do pomiaru dużych struktur, gdy nie było skomplikowanych przyrządów pomiarowych.

Thales of Miletus był greckim matematykiem, który wniósł wielki wkład do geometrii, z której wyróżniają się te dwa twierdzenia (w niektórych tekstach piszą je również jako Thales) i ich użyteczne zastosowania. Wyniki te zostały wykorzystane w historii i pozwoliły rozwiązać wiele różnych problemów geometrycznych.

Pierwsze twierdzenie opowieści

Pierwsze twierdzenie Talesa jest bardzo przydatnym narzędziem, które między innymi pozwala zbudować trójkąt podobny do innego, wcześniej znanego. Wyprowadzono stąd różne wersje twierdzenia, które można zastosować w wielu kontekstach.

Zanim podasz swoje zdanie, pamiętaj o pewnych podobieństwach trójkątów. Zasadniczo dwa trójkąty są podobne, jeśli ich kąty są przystające (mają tę samą miarę). Powoduje to, że jeśli dwa trójkąty są podobne, odpowiadające im boki (lub homologi) są proporcjonalne.

Pierwsze twierdzenie Thalesa mówi, że jeśli w danym trójkącie linia prosta jest narysowana równolegle do dowolnego z jej boków, otrzymany nowy trójkąt będzie podobny do trójkąta początkowego.

Otrzymujesz również zależność między uformowanymi kątami, jak widać na poniższym rysunku.

Aplikacja

Wśród wielu aplikacji wyróżnia się szczególnym zainteresowaniem i ma do czynienia z jednym ze sposobów dokonywania pomiarów dużych struktur w starożytności, czasu, w którym Thales żył i w których nowoczesne urządzenia pomiarowe nie były dostępne. One istnieją teraz.

Mówi się, że w ten sposób Thales zmierzył najwyższą piramidę w Egipcie, Cheopsa. W tym celu Thales przypuszczał, że odbicia promieni słonecznych dotknęły ziemi, tworząc równoległe linie. Przy takim założeniu wbił kij lub laskę pionowo w ziemię.

Następnie użył podobieństwa dwóch powstałych trójkątów, jednego utworzonego przez długość cienia piramidy (który można łatwo obliczyć) i wysokości piramidy (nieznanej), a drugiej utworzonej przez długości cienia i wysokość pręta (który można łatwo obliczyć).

Używając proporcjonalności między tymi długościami, możesz oczyścić i poznać wysokość piramidy.

Chociaż ta metoda pomiaru może dać znaczny błąd przybliżenia w odniesieniu do dokładności wysokości i zależy od równoległości promieni słonecznych (co z kolei zależy od dokładnego czasu), musimy uznać, że jest to bardzo sprytny pomysł i to stanowiło dobrą alternatywę pomiaru na czas.

Przykłady

Znajdź wartość xw każdym przypadku:

Rozwiązanie

Mamy tutaj dwie linie przecięte dwiema równoległymi liniami. Według pierwszego twierdzenia Thalesa, ich odpowiednie strony są proporcjonalne. W szczególności:

Rozwiązanie

Mamy tutaj dwa trójkąty, z których jeden jest utworzony przez segment równoległy do ​​jednego z boków drugiego (dokładnie boku długości x). Według pierwszego twierdzenia Tales musisz:

Drugie twierdzenie opowieści

Drugie twierdzenie Thalesa określa trójkąt prawy wpisany w obwód w każdym punkcie tego samego.

Trójkąt wpisany w obwód jest trójkątem, którego wierzchołki znajdują się na obwodzie, a więc są w nim zawarte.

W szczególności drugie twierdzenie Thalesa stwierdza, że: przy okręgu o środku O i średnicy AC, każdy punkt B obwodu (inny niż A i C) wyznacza trójkąt prostokątny ABC, z kątem prostym

Tytułem uzasadnienia należy zauważyć, że zarówno OA, jak i OB i OC odpowiadają promieniowi obwodu; dlatego ich pomiary są takie same. Stąd uzyskuje się, że trójkąty OAB i OCB są równoramienne, gdzie

Wiadomo, że suma kątów trójkąta jest równa 180º. Używając tego z trójkątem ABC musisz:

2b + 2a = 180º.

Równoważnie mamy b + a = 90º i b + a =

Zauważ, że trójkąt prawy dostarczony przez drugie twierdzenie Thalesa jest dokładnie tym, którego przeciwprostokątna jest równa średnicy obwodu. Dlatego jest całkowicie zdeterminowany przez półokrąg, który zawiera punkty trójkąta; w tym przypadku górny półkole.

Zauważ również, że w trójkącie prawym uzyskanym za pomocą drugiego twierdzenia Thalesa przeciwprostokątna jest dzielona na dwie równe części przez OA i OC (promień). Z kolei miara ta jest równa OB segmentu (również promieniu), który odpowiada medianie trójkąta ABC przez B.

Innymi słowy, długość mediany trójkąta prawego ABC odpowiadająca wierzchołkowi B jest całkowicie określona przez połowę przeciwprostokątnej. Przypomnij sobie, że mediana trójkąta jest odcinkiem od jednego z wierzchołków do środka strony przeciwnej; w tym przypadku segment BO.

Obwód opisany

Innym sposobem widzenia drugiego twierdzenia Thalesa jest okrąg otoczony prostym trójkątem.

Ogólnie rzecz biorąc, okrąg otoczony wielokątem składa się z obwodu, który przechodzi przez każdy z jego wierzchołków, kiedy tylko jest to możliwe.

Korzystając z drugiego twierdzenia Thalesa, mając trójkąt prostokątny, zawsze możemy skonstruować okrąg do tego ograniczony, o promieniu równym połowie przeciwprostokątnej i środka okręgu (środka obwodu) równym środkowemu punktowi przeciwprostokątnej.

Aplikacja

Bardzo ważnym zastosowaniem drugiego twierdzenia Thalesa i być może najczęściej używanym, jest znalezienie linii stycznych do danego obwodu, przez punkt P na zewnątrz tego (znany).

Zauważ, że przy danym obwodzie (narysowanym na niebiesko na rysunku poniżej) i zewnętrznym punkcie P, istnieją dwie linie styczne do obwodu, które przechodzą przez P. Niech T i T 'będą punktami styczności, r promieniem obwodu i Albo centrum.

Wiadomo, że segment, który biegnie od środka okręgu do jego punktu styczności, jest prostopadły do ​​tej linii stycznej. Następnie kąt OTP jest prosty.

Z tego, co widzieliśmy wcześniej w pierwszym twierdzeniu Thalesa i jego różnych wersjach, widzimy, że możliwe jest wpisanie trójkąta OTP na innym obwodzie (na czerwono).

Analogicznie uzyskuje się, że trójkąt OT'P może być wpisany w tym samym poprzednim obwodzie.

Drugim twierdzeniem Talesa jest również to, że średnica tego nowego obwodu jest dokładnie przeciwprostokątną trójkąta OTP (która jest równa przeciwprostokątnej trójkąta OT'P), a środek jest punktem środkowym tej przeciwprostokątnej.

Aby obliczyć środek nowego obwodu, wystarczy obliczyć punkt środkowy między środkiem - powiedzmy M - początkowego obwodu (który już znamy) i punktem P (który również znamy). Następnie promień będzie odległością między tym punktem M i P.

Z promieniem i środkiem czerwonego okręgu możemy znaleźć jego równanie kartezjańskie, które, jak pamiętamy, daje (xh) 2 + (yk) 2 = c2, gdzie c jest promieniem, a punkt (h, k) jest promieniem środek obwodu.

Znając teraz równania obu obwodów, możemy je przecinać, rozwiązując układ równań utworzonych przez nie, a tym samym uzyskując punkty styczności T i T '. Na koniec, aby poznać pożądane linie styczne, wystarczy znaleźć równanie linii przechodzących przez T i P oraz T 'i P.

Przykład

Rozważmy obwód średnicy AC, środka O i promienia 1 cm. Niech B będzie punktem na obwodzie takim, że AB = AC. Ile mierzy AB?

Rozwiązanie

Według drugiego twierdzenia Thalesa, trójkąt ABC jest prostokątem, a przeciwprostokątna odpowiada średnicy, która w tym przypadku wynosi 2 cm (promień wynosi 1 cm). Następnie za pomocą twierdzenia Pitagorasa musimy: