Twierdzenie Bayesa: wyjaśnienie, zastosowania, ćwiczenia

Twierdzenie Bayesa jest procedurą, która pozwala nam wyrazić prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia losowego A danego B, w odniesieniu do rozkładu prawdopodobieństwa zdarzenia B podanego A i rozkładu prawdopodobieństwa tylko A.

Twierdzenie to jest bardzo przydatne, ponieważ dzięki niemu możemy powiązać prawdopodobieństwo, że zdarzenie A wystąpi, wiedząc, że wystąpiło B, z prawdopodobieństwem, że nastąpi odwrotne zjawisko, to znaczy, że B występuje z A.

Twierdzenie Bayesa było srebrną propozycją wielebnego Thomasa Bayesa, osiemnastowiecznego angielskiego teologa, który był także matematykiem. Był autorem kilku prac w teologii, ale obecnie znany jest z kilku traktatów matematycznych, wśród których głównym wynikiem jest wspomniane twierdzenie Bayesa.

Bayes zajmował się tym twierdzeniem w artykule zatytułowanym „Esej w kierunku rozwiązania problemu w doktrynie szans”, opublikowanym w 1763 r., I na którym opracowano duże dzieła w celu rozwiązania problemu w doktrynie możliwości. Badania z aplikacjami w różnych obszarach wiedzy.

Wyjaśnienie

Po pierwsze, do dalszego zrozumienia tego twierdzenia, konieczne są pewne podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa, zwłaszcza twierdzenie o mnożeniu dla prawdopodobieństwa warunkowego, które stwierdza, że

Dla dowolnych zdarzeń E i A w przestrzeni próbkowej S.

I definicja partycji, która mówi nam, że jeśli mamy zdarzenia A ₁, A ₂, ..., A _n z przykładowej przestrzeni S, utworzą one partycję S, jeśli A _i wzajemnie się wykluczają, a ich unią jest S.

Mając to, niech B będzie kolejnym wydarzeniem. Wtedy możemy zobaczyć B jako

Gdzie A _i przecinają się z B są wzajemnie wykluczającymi się wydarzeniami.

I w konsekwencji

Następnie stosując twierdzenie mnożenia

Z drugiej strony prawdopodobieństwo warunkowe Ai podane B jest zdefiniowane przez

Zastępując odpowiednio musimy dla każdego

Zastosowania twierdzenia Bayesa

Dzięki temu zespołom badawczym i różnym korporacjom udało się udoskonalić systemy oparte na wiedzy.

Na przykład, w badaniu chorób, twierdzenie Bayesa może pomóc w rozpoznaniu prawdopodobieństwa, że ​​choroba zostanie znaleziona w grupie osób o danej charakterystyce, biorąc za dane globalne wskaźniki choroby i przewagę tych cech w ludzie zarówno zdrowi, jak i chorzy.

Z drugiej strony, w świecie wysokich technologii, wpłynęło to na duże firmy, które rozwinęły dzięki temu wynikowi oprogramowanie „W oparciu o wiedzę”.

Jako codzienny przykład mamy asystenta Microsoft Office. Twierdzenie Bayesa pomaga oprogramowaniu ocenić problemy, które przedstawia użytkownik, i określić, jakie porady należy dostarczyć, a tym samym móc zaoferować lepszą usługę zgodnie z przyzwyczajeniami użytkownika.

Należy zauważyć, że ta formuła została zignorowana do niedawna, głównie z tego powodu, że kiedy ten wynik został opracowany 200 lat temu, nie było dla nich praktycznego zastosowania. Jednak w naszych czasach, dzięki wielkim postępom technologicznym, naukowcy osiągnęli sposoby, aby wprowadzić ten wynik w życie.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Firma komórkowa ma dwie maszyny A i B. 54% wyprodukowanych telefonów komórkowych jest produkowanych przez maszynę A, a reszta przez maszynę B. Nie wszystkie produkowane telefony komórkowe są w dobrym stanie.

Odsetek wadliwych telefonów komórkowych wyprodukowanych przez A wynosi 0, 2, a B wynosi 0, 5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefon komórkowy wspomnianej fabryki jest uszkodzony? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wiedząc, że telefon komórkowy jest uszkodzony, pochodzą z maszyny A?

Rozwiązanie

Tutaj masz eksperyment, który odbywa się w dwóch częściach; w pierwszej części zdarzenia występują:

O: telefon komórkowy wykonany przez maszynę A.

B: telefon komórkowy wykonany przez maszynę B.

Ponieważ maszyna A produkuje 54% telefonów komórkowych, a reszta jest produkowana przez maszynę B, maszyna B produkuje 46% telefonów komórkowych. Podane są prawdopodobieństwa tych wydarzeń, a mianowicie:

P (A) = 0, 54.

P (B) = 0, 46.

Wydarzenia drugiej części eksperymentu to:

D: uszkodzony telefon komórkowy

E: nieuszkodzony telefon komórkowy.

Jak stwierdzono w oświadczeniu, prawdopodobieństwa tych zdarzeń zależą od wyniku uzyskanego w pierwszej części:

P (D | A) = 0, 2.

P (D | B) = 0, 5.

Korzystając z tych wartości, można również określić prawdopodobieństwa uzupełnień tych zdarzeń, czyli:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0, 2

= 0, 8

i

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0, 5

= 0, 5.

Teraz zdarzenie D można zapisać w następujący sposób:

Używając twierdzenia mnożenia dla prawdopodobieństwa warunkowego, uzyskuje się:

Z którym odpowiada pierwsze pytanie.

Teraz wystarczy obliczyć P (A | D), dla którego stosuje się twierdzenie Bayesa:

Dzięki twierdzeniu Bayesa można powiedzieć, że prawdopodobieństwo, że telefon komórkowy został wykonany przez maszynę A, wiedząc, że telefon komórkowy jest uszkodzony, wynosi 0, 319.

Ćwiczenie 2

Trzy pudełka zawierają białe i czarne kulki. Skład każdego z nich jest następujący: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

Jedno z pól jest wybierane losowo i wyrywana jest z niego losowa piłka, która okazuje się biała. Które pudełko najprawdopodobniej zostało wybrane?

Rozwiązanie

Za pomocą U1, U2 i U3 reprezentujemy również wybrane pole.

Zdarzenia te stanowią podział S i sprawdza się, że P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, ponieważ wybór pola jest przypadkowy.

Jeśli B = {wyodrębniona kula jest biała}, będziemy mieli P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4.

To, co chcemy uzyskać, to prawdopodobieństwo, że piłka została wyjęta z pudełka Ui wiedząc, że piłka była biała, to znaczy P (Ui | B) i zobacz, która z trzech wartości była najwyższa, aby wiedzieć, która Skrzynka była bardziej prawdopodobna do wydobycia białej kuli.

Zastosowanie twierdzenia Bayesa do pierwszego z pól:

A dla pozostałych dwóch:

P (U2 | B) = 2/6 i P (U3 | B) = 1/6.

Następnie pierwsze pole jest tym, które ma większe prawdopodobieństwo, że zostało wybrane do ekstrakcji bili.