Rozumowanie algebraiczne (z rozwiązanymi ćwiczeniami)
Rozumowanie algebraiczne polega zasadniczo na przekazywaniu argumentu matematycznego za pomocą specjalnego języka, co czyni go bardziej rygorystycznym i ogólnym, wykorzystując między sobą zmienne algebraiczne i określone operacje. Cechą matematyki jest logiczny rygor i abstrakcyjna tendencja stosowane w jej argumentach.
W tym celu należy znać poprawną „gramatykę”, która powinna być użyta w tym piśmie. Ponadto rozumowanie algebraiczne unika dwuznaczności w uzasadnieniu argumentu matematycznego, który jest niezbędny do wykazania jakiegokolwiek wyniku w matematyce.
Zmienne algebraiczne
Zmienna algebraiczna jest po prostu zmienną (literą lub symbolem), która reprezentuje pewien obiekt matematyczny.
Na przykład litery x, y, z są zwykle używane do reprezentowania liczb, które spełniają dane równanie; litery p, qr, reprezentujące formuły zdaniowe (lub ich odpowiednie wielkie litery do reprezentowania konkretnych zdań); oraz litery A, B, X itd., aby reprezentować zestawy.
Termin „zmienna” podkreśla, że przedmiotowy obiekt nie jest stały, ale zmienia się. Tak jest w przypadku równania, w którym zmienne są używane do określenia rozwiązań, które w zasadzie są nieznane.
Ogólnie rzecz biorąc, zmienna algebraiczna może być traktowana jako litera reprezentująca jakiś obiekt, niezależnie od tego, czy jest on stały, czy nie.
Podobnie jak zmienne algebraiczne są używane do reprezentowania obiektów matematycznych, możemy również rozważyć symbole reprezentujące operacje matematyczne.
Na przykład symbol „+” reprezentuje operację „suma”. Innymi przykładami są różne notacje symboliczne logicznego łącznika w przypadku zdań i zbiorów.
Wyrażenia algebraiczne
Wyrażenie algebraiczne jest kombinacją zmiennych algebraicznych za pomocą wcześniej zdefiniowanych operacji. Przykładami tego są podstawowe operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia między liczbami lub logiczne łączenie w zdaniach i zestawach.
Rozumowanie algebraiczne odpowiada za wyrażenie argumentu lub argumentu matematycznego za pomocą wyrażeń algebraicznych.
Ta forma ekspresji pomaga uprościć i skrócić pisanie, ponieważ wykorzystuje notacje symboliczne i pozwala nam lepiej zrozumieć rozumowanie, prezentując je w jaśniejszy i bardziej precyzyjny sposób.
Przykłady
Zobaczmy kilka przykładów, które pokazują, jak rozumowanie algebraiczne jest używane. Bardzo regularnie służy do rozwiązywania problemów logicznych i rozumowania, jak zobaczymy wkrótce.
Rozważ dobrze znane twierdzenie matematyczne „suma dwóch liczb jest przemienna”. Zobaczmy, jak możemy wyrazić to twierdzenie algebraicznie: podając dwie liczby „a” i „b”, co oznacza to twierdzenie, że a + b = b + a.
Rozumowanie użyte do interpretacji pierwotnego twierdzenia i wyrażenia go w terminach algebraicznych jest rozumowaniem algebraicznym.
Możemy również wspomnieć o słynnym wyrażeniu „kolejność czynników nie zmienia produktu”, co odnosi się do faktu, że iloczyn dwóch liczb jest również przemienny, i algebraicznie wyrażony jako axb = bxa.
Analogicznie, właściwości asocjacyjne i dystrybucyjne sumy i produktu mogą być wyrażone (i faktycznie wyrażone) algebraicznie, w którym uwzględniono odejmowanie i dzielenie.
Ten rodzaj rozumowania obejmuje bardzo szeroki język i jest używany w wielu różnych kontekstach. W zależności od każdego przypadku, w tych kontekstach musimy rozpoznawać wzorce, interpretować stwierdzenia i uogólniać i formalizować ich wyrażanie w terminach algebraicznych, zapewniając prawidłowe i sekwencyjne rozumowanie.
Rozwiązane ćwiczenia
Oto kilka problemów logicznych, które rozwiążemy za pomocą rozumowania algebraicznego:
Pierwsze ćwiczenie
Jaka jest liczba, która poprzez usunięcie połowy jest równa jeden?
Rozwiązanie
Aby rozwiązać ten typ ćwiczeń, bardzo przydatne jest przedstawienie wartości, którą chcemy określić za pomocą zmiennej. W tym przypadku chcemy znaleźć liczbę, która po usunięciu połowy daje numer jeden. Oznacz jako x żądaną liczbę.
„Usunięcie połowy” do liczby oznacza podzielenie jej przez 2. Zatem powyższe można wyrazić algebraicznie jako x / 2 = 1, a problem sprowadza się do rozwiązania równania, które w tym przypadku jest liniowe i bardzo proste do rozwiązania. Wyczyszczenie x uzyskujemy, że rozwiązaniem jest x = 2.
Podsumowując, 2 to liczba, przy której usunięcie połowy jest równe 1.
Drugie ćwiczenie
Ile minut brakuje do północy, jeśli brakowało 10 minut 5/3 tego, czego teraz brakuje?
Rozwiązanie
Oznacz jako „z” liczbę minut pozostałych do północy (można użyć dowolnej innej litery). To znaczy, że brakuje teraz minut z „północy”. Oznacza to, że brakowało 10 minut „z + 10” minut na północ, a to odpowiada 5/3 tego, czego obecnie brakuje; to znaczy (5/3) z.
Następnie problem zostaje zredukowany do rozwiązania równania z + 10 = (5/3) z. Mnożąc obie strony równości przez 3, otrzymujemy równanie 3z + 30 = 5z.
Teraz, grupując zmienną „z” po jednej stronie równości, otrzymujemy 2z = 15, co oznacza, że z = 15.
Dlatego 15 minut pozostaje do północy.
Trzecie ćwiczenie
W plemieniu, które praktykuje handel wymienny, istnieją następujące równoważności:
- Włócznia i naszyjnik są wymieniane na tarczę.
- Włócznia jest odpowiednikiem noża i naszyjnika.
- Dwie tarcze są wymieniane na trzy jednostki noży.
Ile kołnierzyków jest odpowiednikiem włóczni?
Rozwiązanie
Sean:
Co = naszyjnik
L = włócznia
E = tarcza
Cu = nóż
Następnie mamy następujące relacje:
Co + L = E
L = Co + Cu
2E = 3Cu
Problem sprowadza się do rozwiązania układu równań. Pomimo większej liczby niewiadomych niż równania, ten system można rozwiązać, ponieważ nie pytają nas o konkretne rozwiązanie, ale jedną ze zmiennych zależną od innej. Musimy jedynie wyrazić „Co” w funkcji „L”.
Z drugiego równania mamy Cu = L - Co. Zastępując w trzecim otrzymujemy E = (3L - 3Co) / 2. Wreszcie, zastępując pierwsze równanie i upraszczając je, otrzymujemy, że 5Co = L; to znaczy, że włócznia równa się pięciu kołnierzom.
